求下面背包问题的最优解:n=6, M=20,(p1,p2,…,p6)= (11,8,15,18,12,6), (W1,W2, …,W6) = (5,3,2,10,4,2),要详细点
时间: 2023-10-07 20:11:51 浏览: 33
这是一个0/1背包问题,即每个物品只能选或不选。目标是在不超过背包容量M的情况下,选出一些物品,使得它们的总价值最大。
可以使用动态规划的方法来解决这个问题。定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示在前i个物品中,容量为j的背包能够装下的最大价值。
初始状态为dp[0][j]=0(没有物品可选),dp[i][0]=0(背包容量为0时不能装任何物品)。然后,对于每个物品i和背包容量j,有两种情况:
1.不选第i个物品,此时最大价值为dp[i-1][j];
2.选第i个物品,此时最大价值为dp[i-1][j-Wi]+pi。
取两种情况中的较大值即可,即dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-Wi]+pi)。最终的最优解为dp[n][M]。
可以使用以下的Python代码来实现:
n = 6
M = 20
p = [11,8,15,18,12,6]
W = [5,3,2,10,4,2]
dp = [[0 for j in range(M+1)] for i in range(n+1)]
for i in range(1,n+1):
for j in range(1,M+1):
if j < W[i-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-W[i-1]]+p[i-1])
print(dp[n][M]) #输出最优解
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求下面背包问题的最优解:n=6, M=20,(p1,p2,…,p6)= (11,8,15,18,12,6), (W1,W2, …,W6) = (5,3,2,10,4,2)
可以使用动态规划算法来解决背包问题。设f[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。则有状态转移方程:
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-Wi]+pi)
其中,f[i-1][j]表示不放第i个物品的最大价值,f[i-1][j-Wi]+pi表示放第i个物品的最大价值。如果第i个物品的重量Wi大于背包容量j,则无法放入背包中,此时f[i][j]=f[i-1][j]。
根据状态转移方程,可以填充下面的表格:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
2 0 0 0 8 8 11 11 11 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19
3 0 0 15 15 15 15 26 26 26 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34
4 0 0 15 15 18 18 26 26 33 33 33 49 49 49 49 49 49 49 49 49 49
5 0 12 15 15 18 30 30 30 33 45 45 49 49 61 61 61 61 61 61 61 61
6 0 12 18 24 24 30 30 36 36 45 51 51 57 57 67 67 67 67 67 67 67
因此,最优解为67。
求如下背包问题的最优解n=7,M=15,价值P={10,5,15,7,6,18,3},重量为w={2,3,5,7,1,41}
### 回答1:
这是一个 0/1 背包问题,需要使用动态规划求解。具体步骤如下:
1. 定义状态:设 f(i, j) 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。
2. 初始化:f(0, j) = 0,f(i, 0) = 0。
3. 状态转移方程:对于第 i 个物品,有两种情况:放入背包或不放入背包。
- 若第 i 个物品不放入背包,则 f(i, j) = f(i-1, j)。
- 若第 i 个物品放入背包,则 f(i, j) = f(i-1, j-w[i]) + P[i]。其中,w[i] 表示第 i 个物品的重量,P[i] 表示第 i 个物品的价值。
综上可得状态转移方程为:f(i, j) = max(f(i-1, j), f(i-1, j-w[i]) + P[i])。
4. 最终结果:f(n, M) 即为所求的最优解。
根据以上算法,可以得到在 n=7,M=15,P={10,5,15,7,6,18,3},w={2,3,5,7,1,4,1} 的情况下,最优解为 43。
### 回答2:
背包问题是一种经典的组合优化问题,其目标是在限定背包容量的情况下,选择适当的物品装入背包,使得背包中物品的总价值最大化。
对于给定的背包容量M=15和物品重量w={2,3,5,7,1,4,1},我们可以通过动态规划方法来求解最优解。
首先我们定义一个二维数组dp[n+1][M+1],其中dp[i][j]表示在前i个物品中,背包容量为j时的最大价值。
然后我们遍历所有物品,并依次计算dp[i][j]的值。
具体算法如下:
1. 初始化dp数组,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0。
2. 对于每个物品i=1到n,依次计算dp[i][j]的值:
- 如果j < w[i],则dp[i][j] = dp[i-1][j],即背包容量不足以装入物品i,不放入背包。
- 否则,dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + P[i]),即选择装入物品i或者不装入物品i,取价值较大的方案。
3. 最终的答案为dp[n][M],即在前n个物品中,背包容量为M时的最大价值。
代入具体数值计算可得dp[7][15]=48,即在给定的条件下,背包中的物品总价值最大为48。
需要注意的是,由于题目给出的物品重量和价值个数不一致(P共7个,w共6个),在实际应用时应确认输入数据的准确性,以免计算错误。
### 回答3:
背包问题是一个经典的组合优化问题,我们需要在给定的限制条件下选择一些物品放入背包,使得背包中物品的总价值最大。
对于该背包问题,我们可以使用动态规划的方法来求解。动态规划是一种自底向上的方法,先求解一些较小规模的子问题,再逐步求解规模更大的问题。
我们设定一个二维数组dp[n][M],dp[i][j]表示在前i个物品中,背包容量为j的情况下能够获得的最大价值。
初始化dp数组的第一行和第一列为0,表示背包容量为0时,无论有多少物品,我们都无法获得任何价值;而在背包容量任意时,如果没有物品可选,我们也无法获得任何价值。
接下来,我们逐步计算dp数组的每个元素。对于dp[i][j],我们有两种选择:
1. 如果第i个物品的重量大于j,即w[i] > j,那么我们无法选择第i个物品放入背包中,此时dp[i][j] = dp[i-1][j],即背包容量为j时,前i个物品能够获得的最大价值与前i-1个物品相同。
2. 如果第i个物品的重量小于等于j,即w[i] <= j, 那么我们可以选择将第i个物品放入背包中,此时dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + p[i]),即背包容量为j时,前i个物品能够获得的最大价值为在选择第i个物品与不选择第i个物品之间的最大值。
最后,dp[n][M]即为我们要求的最优解,表示在n个物品中,背包容量为M时,能够获得的最大价值。
对于给定的例子,通过动态规划算法,我们可以得到dp[7][15] = 45,即在7个物品中,背包容量为15时,能够获得的最大价值为45。