normal equation

normal equation（正规方程）是一种用于求解线性回归问题的数学方法。它通过求解一个方程组来找到使得代价函数最小的参数。假设我们的训练集特征矩阵为X（包含了x0=1），训练集结果为向量y，则利用正规方程可以解出参数向量θ = (XTX)-1XTy。其中，上标T代表矩阵的转置，上标-1代表矩阵的逆。

使用正规方程方法可以直接计算得到最优参数，而不需要进行迭代计算。当特征变量的数量相对较小（小于一万）时，通常使用正规方程方法更加高效，而不使用梯度下降法。

相关问题

不使用矩阵库求正规方程的c++算法

以下是不使用矩阵库进行矩阵运算的C++实现正规方程的简单算法：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<double> normalEquation(vector<vector<double>> X, vector<double> y) {
    int m = X.size(); // 样本数量
    int n = X[0].size(); // 特征数量
    vector<vector<double>> X_T(n, vector<double>(m)); // X的转置矩阵
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < m; j++) {
            X_T[i][j] = X[j][i];
        }
    }
    vector<vector<double>> X_T_X(n, vector<double>(n)); // X的转置矩阵与X的乘积
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            for(int k = 0; k < m; k++) {
                X_T_X[i][j] += X_T[i][k] * X[k][j];
            }
        }
    }
    vector<double> X_T_y(n); // X的转置矩阵与y的乘积
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < m; j++) {
            X_T_y[i] += X_T[i][j] * y[j];
        }
    }
    vector<double> w(n); // 系数向量w
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        w[i] = X_T_y[i] / X_T_X[i][i];
    }
    return w;
}

int main() 
{
    vector<vector<double>> X{{1, 1}, {2, 3}, {1, 4}}; // 自变量矩阵X
    vector<double> y{1, 2, 3}; // 因变量向量y
    vector<double> w = normalEquation(X, y); // 求解正规方程
    cout << "系数向量w为：" << endl;
    for(int i = 0; i < w.size(); i++) {
        cout << w[i] << endl;
    }
    return 0;
}

在上述代码中，我们首先定义了normalEquation函数，该函数接受样本数据X和因变量y作为输入，返回系数向量w。在函数中，我们首先计算自变量矩阵X的转置矩阵X_T，并计算X的转置矩阵与X的乘积X_T_X和X的转置矩阵与y的乘积X_T_y，然后通过求解线性方程组X_T_Xw = X_T_y得到系数向量w。最后，我们在主函数中调用normalEquation函数，并输出系数向量w的值。

最小二乘法和线性回归

最小二乘法是一种常用的数学优化方法用于拟合数据点与数学模型之间的差异。它在统计学和机器学习中广泛应用于线性回归问题。

线性回归是一种用于建立线性关系的统计模型，它通过最小化实际观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定最佳拟合直线。最小二乘法是线性回归中常用的求解方法之一。

在线性回归中，我们假设自变量和因变量之间存在线性关系，即因变量可以通过自变量的线性组合来表示。线性回归模型可以表示为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε，其中y是因变量，x1, x2, ..., xn是自变量，β0, β1, β2, ..., βn是回归系数，ε是误差项。

最小二乘法通过最小化残差平方和来估计回归系数的值。具体而言，它通过求解一个优化问题，使得残差平方和最小化。这个优化问题可以通过求解正规方程（normal equation）或者使用迭代方法（如梯度下降法）来得到最优解。

最小二乘法和线性回归在许多领域都有广泛的应用，例如经济学、金融学、社会科学和工程学等。