平衡二叉树删除结点时间复杂度

### 平衡二叉树中删除节点的时间复杂度

对于平衡二叉树中的删除操作，最坏情况下的时间复杂度取决于树的高度 \(h\)。在最坏情况下，可能需要从根节点遍历到最深的叶节点[^1]。

#### 删除操作的具体过程
当执行删除操作时，通常会遇到三种情形：

- 被删节点无子节点：直接移除该节点。
- 被删节点有一个子节点：用其唯一的子节点替代它。
- 被删节点有两个子节点：找到右子树中最左端的节点（即最小值），替换被删节点的位置并继续处理新位置上的删除问题。

每种情形下都需要更新路径上各节点的信息来保持树结构的自平衡特性，这增加了额外的操作开销但不会显著影响整体渐近时间复杂度。

#### 特殊类型的平衡二叉树

不同种类的自平衡二叉查找树有不同的机制维持自身的高度接近于 \(\log_2{n}\)，从而保证了高效的查询性能以及相对稳定的插入和删除效率。例如AVL树严格控制左右两侧高度差不超过1；红黑树则通过染色规则间接实现相似效果[^2]。

因此，在理想状态下，这些经过优化设计的数据结构能够确保删除操作平均与最好情况均达到对数级别的时间消耗\(O(\log n)\)而非线性的\(O(n)\)。

def delete_node(root, key):
    if not root:
        return root
    
    # 标准BST删除逻辑...
    
    # 更新当前节点的高度
    root.height = 1 + max(get_height(root.left), get_height(root.right))
  
    balance_factor = get_balance_factor(root)

    # 执行旋转以恢复平衡...

    return root