给定n×n的矩阵，矩阵中有0和1两个数字，现要求矩阵中只包含0的矩形的数量

在给定一个n×n的矩阵中，只包含0的矩形数量的问题可以归结为动态规划（Dynamic Programming）。你可以通过以下步骤来解决：

1. 初始化一个二维数组`count`，其中`count[i][j]`表示以`(i, j)`为右下角的最小大小的全0矩形的数量。

2. 遍历矩阵，对于每个元素`matrix[i][j]`（如果它不是0），将所有小于等于当前位置的行和列的`count`值更新。即，对于行`k < i`和列`l < j`，`count[k][l]`递增一次。这是因为如果当前位置的值是0，那么包含该位置的矩形的大小就会增加，所以我们需要增加之前所有较小矩形的数量。

3. 计算过程中的最大值`max_count`就是最终结果，因为在遍历过程中，我们实际上是统计了所有能构成的有效矩形的数量。

举个例子，如果你有一个3x3的矩阵，比如：

1 0 1
0 0 1
1 0 0

最后，`count`数组可能是：

0 0 1
1 1 1
1 1 2

所以只包含0的矩形数量是`count[0][0] + count[0][1] + count[1][1] + count[2][2] = 4`。

相关问题

给定n*n的矩阵，矩阵中有0和1两个数字，现要求矩阵中只包含0的矩形的数量

要计算给定的 n×n 矩阵中只包含 0 的矩形数量，你可以使用动态规划的方法。我们可以定义一个二维数组 dp[i][j] 表示到 (i, j) 位置为止，最大的只包含 0 的子矩阵的宽度。对于每个元素，我们有两个选择：

1. 如果当前元素为 0，那么我们可以增加子矩阵的宽度（因为 0 可以与之前所有 0 组成更大的矩形）。
2. 如果当前元素为 1，那么子矩阵的宽度不能增加。

遍历矩阵，更新 dp 数组的同时，记录下遇到的第一个 1（或到达边界）的位置，这将是下一个矩形左上角的可能起点。每次遇到一个新的起点，都会开始一个新的计数。

算法步骤大致如下：

1. 初始化 dp[i][j] = 1 （如果 i == j），表示单个元素也是矩形。
2. 遍历矩阵，从左到右，从上到下：
- 当前元素为 0：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1。
- 当前元素为 1：dp[i][j] = 1。
- 记录新起点 (start_i, start_j)，即更新 dp[start_i][start_j] = 1。
3. 对于每个起点 (start_i, start_j)，找到对应结束点 (end_i, end_j)，使得 dp[end_i][end_j] = 1。然后计算子矩阵的宽度 (end_i - start_i + 1)。
4. 计算所有这样的宽度值，即可得到只包含 0 的矩形数量。由于可能有重复的矩形，你需要用哈希集合（如 C++ 中的 unordered_set）去存储这些宽度，确保不重复计数。

以下是一个简单的 C++ 代码实现：

#include <unordered_set>

int countRectangles(int matrix[n][n]) {
    int dp[n][n];
    std::unordered_set<int> widths;
    
    // 初始化首行和首列
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        dp[0][i] = matrix[0][i] ? 1 : 0;
    }
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        dp[j][0] = matrix[j][0] ? 1 : 0;
    }

    // 动态规划填充
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        for (int j = 1; j < n; ++j) {
            if (matrix[i][j] == 0) {
                dp[i][j] = std::min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1;
            } else {
                dp[i][j] = 1;
                if (widths.find(dp[i][j]) != widths.end()) {
                    // 如果宽度已存在，说明找到了相同的矩形
                    --widths.count(dp[i][j]);
                } else {
                    // 否则，添加新的宽度
                    widths.insert(dp[i][j]);
                }
            }
        }
    }

    int result = 0;
    // 将宽度加回结果
    for (const auto& width : widths) {
        result += width;
    }
    return result;
}

c++解决这题，用单调栈： 给定一个大小为n×n的矩阵，矩阵中的每个位置只可能为0或1两个数值中的一个，且矩阵中恰好有n个1，且任意一行或一列中有且仅有一个1。对于一个大小为k×k(1≤k≤n)的子矩阵，若子矩阵中包含1的数量恰好为k个，则认为这个子矩阵是优美的。 现在请你统计出优美的子矩阵的数量。 输入格式： 输入的第一行包含一个整数n(1≤n≤5e4)，表示矩阵的大小，矩阵中包含的11的数量。 接下来nn行，每行两个正整数xi,yi(1≤xi,yi≤n)，表示矩阵的第xi行，第yi列的位置存在1。 输入保证每个xi和每个yi都是不同的，即矩阵的每行、每列中只有一个1。 输出格式： 输出优美的子矩阵的数量。 输入： 5 1 1 4 2 3 3 2 5 5 4 输出： 9

这个问题需要用到单调栈。

首先，对于每一行，我们可以维护一个高度数组，表示当前行往上延伸的连续1的个数。然后对于每一个子矩阵，我们可以通过枚举起始行和结束行来确定这个子矩阵的高度数组。

接下来，我们可以用单调栈来找到每个高度数组的最大子矩阵。对于每个高度数组，我们可以将它看作一个直方图。然后我们就可以用单调栈来找到最大的矩形面积。具体来说，我们维护一个单调递增的栈，每次遇到一个比栈顶元素小的元素时，我们就可以计算出以栈顶元素为高的最大矩形面积。具体实现时，我们可以将高度数组的两端各加入一个高度为0的元素，这样保证了最后栈一定会被清空。

最后，我们统计所有子矩阵的最大矩形面积之和即可得到答案。

代码如下：