给定n×n的矩阵,矩阵中有0和1两个数字,现要求矩阵中只包含0的矩形的数量
时间: 2024-09-15 18:09:36 浏览: 60
在给定一个n×n的矩阵中,只包含0的矩形数量的问题可以归结为动态规划(Dynamic Programming)。你可以通过以下步骤来解决:
1. 初始化一个二维数组`count`,其中`count[i][j]`表示以`(i, j)`为右下角的最小大小的全0矩形的数量。
2. 遍历矩阵,对于每个元素`matrix[i][j]`(如果它不是0),将所有小于等于当前位置的行和列的`count`值更新。即,对于行`k < i`和列`l < j`,`count[k][l]`递增一次。这是因为如果当前位置的值是0,那么包含该位置的矩形的大小就会增加,所以我们需要增加之前所有较小矩形的数量。
3. 计算过程中的最大值`max_count`就是最终结果,因为在遍历过程中,我们实际上是统计了所有能构成的有效矩形的数量。
举个例子,如果你有一个3x3的矩阵,比如:
```
1 0 1
0 0 1
1 0 0
```
最后,`count`数组可能是:
```
0 0 1
1 1 1
1 1 2
```
所以只包含0的矩形数量是`count[0][0] + count[0][1] + count[1][1] + count[2][2] = 4`。
相关问题
给定n*n的矩阵,矩阵中有0和1两个数字,现要求矩阵中只包含0的矩形的数量
要计算给定的 n×n 矩阵中只包含 0 的矩形数量,你可以使用动态规划的方法。我们可以定义一个二维数组 dp[i][j] 表示到 (i, j) 位置为止,最大的只包含 0 的子矩阵的宽度。对于每个元素,我们有两个选择:
1. 如果当前元素为 0,那么我们可以增加子矩阵的宽度(因为 0 可以与之前所有 0 组成更大的矩形)。
2. 如果当前元素为 1,那么子矩阵的宽度不能增加。
遍历矩阵,更新 dp 数组的同时,记录下遇到的第一个 1(或到达边界)的位置,这将是下一个矩形左上角的可能起点。每次遇到一个新的起点,都会开始一个新的计数。
算法步骤大致如下:
1. 初始化 dp[i][j] = 1 (如果 i == j),表示单个元素也是矩形。
2. 遍历矩阵,从左到右,从上到下:
- 当前元素为 0:dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1。
- 当前元素为 1:dp[i][j] = 1。
- 记录新起点 (start_i, start_j),即更新 dp[start_i][start_j] = 1。
3. 对于每个起点 (start_i, start_j),找到对应结束点 (end_i, end_j),使得 dp[end_i][end_j] = 1。然后计算子矩阵的宽度 (end_i - start_i + 1)。
4. 计算所有这样的宽度值,即可得到只包含 0 的矩形数量。由于可能有重复的矩形,你需要用哈希集合(如 C++ 中的 unordered_set)去存储这些宽度,确保不重复计数。
以下是一个简单的 C++ 代码实现:
```cpp
#include <unordered_set>
int countRectangles(int matrix[n][n]) {
int dp[n][n];
std::unordered_set<int> widths;
// 初始化首行和首列
for (int i = 0; i < n; ++i) {
dp[0][i] = matrix[0][i] ? 1 : 0;
}
for (int j = 0; j < n; ++j) {
dp[j][0] = matrix[j][0] ? 1 : 0;
}
// 动态规划填充
for (int i = 1; i < n; ++i) {
for (int j = 1; j < n; ++j) {
if (matrix[i][j] == 0) {
dp[i][j] = std::min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1;
} else {
dp[i][j] = 1;
if (widths.find(dp[i][j]) != widths.end()) {
// 如果宽度已存在,说明找到了相同的矩形
--widths.count(dp[i][j]);
} else {
// 否则,添加新的宽度
widths.insert(dp[i][j]);
}
}
}
}
int result = 0;
// 将宽度加回结果
for (const auto& width : widths) {
result += width;
}
return result;
}
```
在一个只有0和1组成的矩阵中,手动输入矩阵,输出最大的由1组成矩形面积
好的,我可以为您提供一个解法。
首先,我们可以将矩阵中的每一行看作一个直方图,其中高度为1的部分表示该位置上有1,高度为0的部分表示该位置上有0。然后,我们可以对每一行应用求解直方图中最大矩形面积的算法,来得到该行所能组成的最大矩形面积。最后,我们只需要在所有行的最大矩形面积中取最大值,即可得到整个矩阵中由1组成的最大矩形面积。
下面是一个Python实现,其中使用了栈来维护直方图中高度递增的部分:
```python
def max_rectangle_area(matrix):
if not matrix:
return 0
m, n = len(matrix), len(matrix[0])
heights = [0] * n
max_area = 0
for i in range(m):
for j in range(n):
if matrix[i][j] == '1':
heights[j] += 1
else:
heights[j] = 0
max_area = max(max_area, largest_rectangle_area(heights))
return max_area
def largest_rectangle_area(heights):
stack = []
max_area = 0
for i in range(len(heights)):
while stack and heights[i] < heights[stack[-1]]:
h = heights[stack.pop()]
w = i if not stack else i - stack[-1] - 1
max_area = max(max_area, h * w)
stack.append(i)
while stack:
h = heights[stack.pop()]
w = len(heights) if not stack else len(heights) - stack[-1] - 1
max_area = max(max_area, h * w)
return max_area
```
其中,`matrix`是一个由字符串构成的二维数组,每个字符串表示一行,字符串中的字符只可能为'0'或'1'。函数`max_rectangle_area`返回整个矩阵中由1组成的最大矩形面积,函数`largest_rectangle_area`返回给定高度数组中的最大矩形面积。