欧几里得递归算法求最大公约数求时间复杂度

欧几里得算法，也称为辗转相除法，是一种经典的求解两个整数的最大公约数（GCD）的递归算法。其基本思想是利用数学原理：对于任意两个正整数a和b（其中a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。即gcd(a, b) = gcd(b, a % b)。

时间复杂度分析：
- 当输入的两个数a和b大小接近于1时，最多只需要进行一次除法运算（因为b会变为0），此时的时间复杂度是O(1)。
- 对于一般情况，每次递归都会将较大的那个数减小至原来的一半左右，所以最坏情况下，需要递归log(min(a, b))次。每一次递归实际上是一个除法操作加上对较小数的递归，所以总的时间复杂度近似为O(log n)，n为较小的那个数。

因此，尽管看起来递归可能会导致指数级的增长，但由于每一步都减少了一个数量级，实际运行效率相当高。这就是为什么欧几里得算法通常被认为是计算GCD的有效方法之一。