选择一个(7,4)码的生成多项式，计算对应的监督多项式，写出其典型的生成矩阵和监督矩阵，以及全部许用码字。

在循环冗余校验(Cyclic Redundancy Check, CRC)中，选择一个(7,4)码意味着我们有一个长度为7的二进制序列，但是实际的数据只有4位有效信息，其余三位作为冗余位用于检测错误。常用的生成多项式通常是一个有限字段F2^m中的多项式，其中m是数据位数减去校验位数。

对于(7,4)码，一个常见的生成多项式可能是G(x) = x^3 + x^2 + 1 (因为它是能自除的)，这意味着它能将4位数据扩展成7位，并且最高位的值是由其他位通过模2加法得到的。

监督多项式H(x)通常是G(x)除以(x+1)^4的结果，因为在CRC中，我们通常采用除以(x+1)^(n-k)的形式，其中n是总位数，k是信息位数。这里，n=7，k=4，所以监督多项式H(x) = G(x)/(x+1)^3。

生成矩阵是将生成多项式转换成的系数形式构成的矩阵，对于上述例子，生成矩阵是：

[1 0 0 1 1 1 0]

监督矩阵则是生成矩阵加上一个额外的列，代表生成多项式的常数项（在这里是0），即：

[1 0 0 1 1 1 0 | 0]

所有的许用码字是所有可能的数据位组合加上生成多项式的线性组合，也就是所有长度为7的二进制序列，使得它们除以G(x)的余数为0。例如，如果数据位是[1010]，则添加生成多项式后的序列是[1010 1 1 1 0]，这个序列就是允许的。

相关问题

根据一个生成多项式写出生成矩阵，在让该码经过一个BSC信道，最后再进行硬判决译码

过程，求出该码的误码率。

假设生成多项式为$g(x)=1+x+x^3$，则对应的生成矩阵为：

$$G=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$$

假设该码为二元码，则经过BSC信道得到的接收向量为：

$$r=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}$$

进行硬判决译码，即将接收向量中所有超过阈值的元素视为1，其他元素视为0，则译码结果为：

$$\hat{c}=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}$$

将译码结果和原始编码进行比较，发现只有第二个元素不同，因此误码率为$\dfrac{1}{6}$。

设g（x）=x4+×2+×+1是二元［7,3］循环码C的生成多项式（1）写出循环码C的系统生成矩阵；（2）写出信息位101 的乘法编码；（3）写出C的校验矩阵。

首先，我们需要理解二元循环码和生成多项式的概念。在一个二元线性循环码中，生成多项式G(x)决定了码字的结构，使得当它除以循环码的多项式H(x)（通常是码长为n的一维码的生成多项式）时，余数就是该循环码的码字。

对于给定的问题：
1. **循环码的系统生成矩阵**:
对于循环码C的长度为7（因为g(x)是四次多项式），这意味着每个信息位对应三个额外的检查位。由于g(x) = x^4 + x^2 + x + 1，我们可以确定生成矩阵的第一行将是系数向量[1, 0, 0, 0]，然后第二行至第四行将是g(x)的系数的倒序，即[1, 1, 1, 1]。然而，为了形成系统生成矩阵，还需要添加一行全零作为开始位置，以及最后是单位矩阵，以便插入信息位。所以生成矩阵看起来像这样：

   [1 0 0 0]
   [1 1 1 1]
   [0 1 1 0]
   [0 0 1 1]
   [0 0 0 1]

2. **信息位101的乘法编码**:
要将信息位101转换为循环码的码字，我们将其视为二进制串，并在右侧通过生成多项式进行移位加法。初始信息位101变成101|0（因为是四位码），然后按照生成多项式的规则进行操作。经过计算后，我们会得到一个七位的码字。

3. **校验矩阵**:
校验矩阵通常用于检测错误并恢复数据。对于循环码，校验矩阵是由生成多项式的所有非零系数排列而成的。在这个例子中，校验矩阵就是生成矩阵去掉第一行后的部分：

   [1 1 1 1]
   [0 1 1 0]
   [0 0 1 1]

校验矩阵可以与信息位的码字一起使用欧几里得算法来检测错误，如果模2除法的结果不全是0，则表示有错误发生。