混合策略博弈矩阵收益计算

混合策略博弈是指参与者在决策时按一定的概率选择不同的策略。对于每个参与者而言，他们可以制定一种概率分布来选择不同的策略，这就是混合策略。

混合策略博弈矩阵收益计算可以通过以下步骤进行：
1. 对于每个参与者，列出他们可能采取的所有策略。
2. 在矩阵中，将每个参与者的策略与其他参与者的所有策略进行组合，形成所有可能的博弈情况。
3. 对于每种博弈情况，计算每个参与者采取各自策略时的收益或损失。这些收益或损失通常以数值表示，例如货币单位。
4. 将每个参与者的收益或损失以矩阵的形式呈现。

在混合策略博弈中，由于参与者采取不同的策略的概率不同，因此需要对每个参与者的概率分布进行加权平均，从而计算出期望收益或期望损失。这些期望值也可以以矩阵的形式呈现，称为期望收益或期望损失矩阵。

相关问题

混合策略纳什均衡怎么算

混合策略纳什均衡是博弈论中的一个概念，用于描述多人博弈中玩家选择策略的平衡状态。在混合策略纳什均衡中，每个玩家都采取一定的概率分布来选择不同的纯策略。

计算混合策略纳什均衡的方法通常有两种：支配策略法和期望效用最大化法。

1. 支配策略法：
- 对于每个玩家，找出其对手的最佳响应策略。
- 对于每个玩家的每个纯策略，计算其对应的期望收益。
- 如果某个纯策略是对手的最佳响应，并且自身的期望收益最大，则该纯策略是混合策略纳什均衡中该玩家的最佳策略。

2. 期望效用最大化法：
- 对于每个玩家，列出其所有可能的混合策略。
- 计算每个混合策略下的期望效用。
- 找到使自身期望效用最大化的混合策略组合，即为混合策略纳什均衡。

给定收益矩阵m*n，证明二人零和博弈的混合策略均衡等价于一个线性规划问题以及对应对偶问题

对于一个二人零和博弈，我们可以通过收益矩阵来表示游戏的规则。其中，矩阵中的每个元素表示在不同的策略下，第一个玩家可以获得的收益，同时也等于第二个玩家损失的收益。

我们可以通过混合策略来表示每个玩家在每个可行的策略中选择的概率分布。这些概率的组合构成了一个概率向量，可以表示为一个n维向量。因此，我们可以将两个玩家的策略向量表示为$p$和$q$。

假设$p$和$q$是混合策略均衡，那么$p$和$q$满足以下条件：

1. 对于所有的$i$，$p_i\geq0$且$\sum_{i=1}^np_i=1$
2. 对于所有的$j$，$q_j\geq0$且$\sum_{j=1}^nq_j=1$
3. 对于任意的$i$和$j$，有$m_{ij}\cdot p_i+(1-m_{ij})\cdot(1-p_i)=m_{ji}\cdot q_j+(1-m_{ji})\cdot(1-q_j)$

其中，$m_{ij}$表示在第一个玩家选择第$i$个策略，第二个玩家选择第$j$个策略时的收益。

我们可以将这个问题转化为一个线性规划问题，其中我们需要最大化第一个玩家的收益。我们可以将第一个玩家的收益表示为$p^T\cdot M\cdot q$，其中$M$表示收益矩阵，$p^T$表示$p$的转置。同时，我们需要保证$p$和$q$满足上述3个条件。

因此，我们可以定义以下线性规划问题：

$$
\begin{aligned}
\max_{p,q} \quad & p^T\cdot M\cdot q \\
s.t. \quad & \sum_{i=1}^np_i=1 \\
& \sum_{j=1}^nq_j=1 \\
& p_i\geq0, \quad q_j\geq0 \\
& m_{ij}\cdot p_i+(1-m_{ij})\cdot(1-p_i)=m_{ji}\cdot q_j+(1-m_{ji})\cdot(1-q_j), \quad \forall i,j \\
\end{aligned}
$$

同时，我们也可以定义对偶问题，通过对偶问题来证明混合策略均衡等价于线性规划问题。

对偶问题的定义如下：

$$
\begin{aligned}
\min_{\lambda,\mu} \quad & \lambda^T\cdot \mathbf{1} + \mu^T\cdot \mathbf{1} \\
s.t. \quad & \lambda_i+\mu_j\geq M_{ij}, \quad \forall i,j \\
& \lambda_i\geq0, \quad \mu_j\geq0 \\
\end{aligned}
$$

其中，$\lambda$和$\mu$分别表示第一个和第二个玩家的对偶变量，$\mathbf{1}$表示全1向量，$M$表示收益矩阵。

通过线性规划的对偶性定理，我们可以证明混合策略均衡等价于线性规划问题以及对应的对偶问题。具体而言，我们可以证明：

1. 如果$p$和$q$是混合策略均衡，则存在一组对偶变量$\lambda$和$\mu$，满足$\lambda_i+\mu_j\geq M_{ij}$，同时$p_i=\frac{1}{\sum_{j=1}^n \mu_j}\cdot \mu_i$，$q_j=\frac{1}{\sum_{i=1}^n \lambda_i}\cdot \lambda_j$。
2. 如果存在一组对偶变量$\lambda$和$\mu$，满足$\lambda_i+\mu_j\geq M_{ij}$，则$p_i=\frac{1}{\sum_{j=1}^n \mu_j}\cdot \mu_i$和$q_j=\frac{1}{\sum_{i=1}^n \lambda_i}\cdot \lambda_j$构成一个混合策略均衡。

因此，我们可以通过线性规划问题和对偶问题来求解二人零和博弈的混合策略均衡。