如何证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵

正半定矩阵是指所有特征值都大于等于0的矩阵，正定矩阵是指所有特征值都大于0的矩阵。证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵，可以使用矩阵特征值的定义和性质进行证明。

假设A是正半定矩阵，B是正定矩阵，C=A+B，则对于任意非零向量x，有x^T C x = x^T A x + x^T B x。

由于A是正半定矩阵，所以x^T A x >= 0，而B是正定矩阵，所以x^T B x > 0。因此，x^T C x = x^T A x + x^T B x > 0，即C是正定矩阵。

因此，正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵。

相关问题

正定矩阵与一个半负定矩阵相乘，是正定矩阵吗

如果一个矩阵是正定矩阵，它的所有特征值都是正数。相反，如果一个矩阵是半负定矩阵，它的特征值均为非正数。所以，一个正定矩阵与一个半负定矩阵相乘，结果不一定是正定矩阵，因为它们可能有共同的特征值为零。

但是，如果你想求得这个乘积矩阵是否为正定矩阵，可以使用Sylvester判别法：设A和B分别为n阶实对称矩阵，C=AB，则C为正定矩阵当且仅当A和B的主子式均大于0且det(A)det(C)=det(B)det(C)。

正定矩阵和半正定矩阵区别

正定矩阵和半正定矩阵的区别在于它们的特征值的取值范围不同。正定矩阵的所有特征值都是正数，而半正定矩阵的所有特征值都是非负数。此外，正定矩阵的行列式恒为正，而半正定矩阵的行列式是非负的。另外，两个正定矩阵的和是正定矩阵，而两个半正定矩阵的和是半正定矩阵。非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的，而正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。