如何证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵
时间: 2023-12-01 18:40:33 浏览: 52
正半定矩阵是指所有特征值都大于等于0的矩阵,正定矩阵是指所有特征值都大于0的矩阵。证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵,可以使用矩阵特征值的定义和性质进行证明。
假设A是正半定矩阵,B是正定矩阵,C=A+B,则对于任意非零向量x,有x^T C x = x^T A x + x^T B x。
由于A是正半定矩阵,所以x^T A x >= 0,而B是正定矩阵,所以x^T B x > 0。因此,x^T C x = x^T A x + x^T B x > 0,即C是正定矩阵。
因此,正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵。
相关问题
半正定矩阵c一定是方正吗
半正定矩阵 C 不一定是方正的。半正定矩阵是指实对称矩阵 C,满足对于任意非零实向量 x,都有 x^T * C * x ≥ 0。其中,x^T 表示 x 的转置。
方正矩阵是指实对称矩阵 C,满足对于任意非零实向量 x,都有 x^T * C * x > 0。
可以看到,半正定矩阵只要求对于任意非零实向量 x,其二次型的值为非负数,而不一定是正数。
举个例子来说,考虑一个半正定矩阵 C = [[1, 0], [0, 0]],它是一个 2x2 的实对称矩阵。对于任意的非零实向量 x = [a, b],有 x^T * C * x = [a, b] * [[1, 0], [0, 0]] * [a, b] = [a^2, 0] * [a, b] = a^3 ≥ 0。对于任意的 a 和 b 值都满足这个不等式,所以该矩阵是半正定的。
然而,这个矩阵并不是方正矩阵,因为可以找到一个非零实向量 x = [1, 0],使得 x^T * C * x = [1, 0] * [[1, 0], [0, 0]] * [1, 0] = 1^2 = 1 > 0。也就是说,可以找到一个非零实向量 x,使得二次型的值大于零,所以该矩阵不是方正的。
综上所述,半正定矩阵不一定是方正的。
矩阵的协方差矩阵证明半正定
矩阵的协方差矩阵是一个实对称矩阵,它的主对角线元素是每个随机变量的方差,而非主对角线元素则是它们之间的协方差。因为协方差矩阵是实对称矩阵,所以我们只需要证明这个矩阵是半正定的就可以了。
协方差矩阵的半正定性可以通过特征分解来证明。具体地,将协方差矩阵分解为特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积。因为协方差矩阵是实对称矩阵,所以特征向量矩阵是一个正交矩阵,即它的逆等于它的转置。根据特征分解的定义,对于任意非零向量,协方差矩阵作用于这个向量后得到的向量可以表示为特征向量和特征值的线性组合。
现在考虑任意非零向量v,它的长度为1。则:
v^T * cov * v = v^T * Q * Λ * Q^T * v,
其中Q是特征向量矩阵,Λ是特征值矩阵,且Q^T是Q的转置。因为Q是一个正交矩阵,所以Q^T = Q^(-1)。
然后,令w = Q^T * v,我们有:
w^T * Λ * w >= 0,
因为所有的特征值都是非负数。所以,v^T * cov * v >= 0。因此,协方差矩阵是半正定的。
--相关问题--: