正定矩阵的逆矩阵是不是正定

正定矩阵的逆矩阵也是正定的。正定矩阵是一个对称矩阵，其特征值都是正数，并且对应的行列式非零。根据矩阵理论，如果一个矩阵A是正定的，则它的逆矩阵A^-1一定存在，并且也是一个正定矩阵。因为正定矩阵乘以其逆矩阵等于单位矩阵，单位矩阵是正定的，所以它们的性质可以相互传递。因此，如果你有一个正定矩阵，其逆必然是另一个正定矩阵。

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正定矩阵和半正定矩阵区别

正定矩阵和半正定矩阵的区别在于它们的特征值的取值范围不同。正定矩阵的所有特征值都是正数，而半正定矩阵的所有特征值都是非负数。此外，正定矩阵的行列式恒为正，而半正定矩阵的行列式是非负的。另外，两个正定矩阵的和是正定矩阵，而两个半正定矩阵的和是半正定矩阵。非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的，而正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

如何证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵

正半定矩阵是指所有特征值都大于等于0的矩阵，正定矩阵是指所有特征值都大于0的矩阵。证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵，可以使用矩阵特征值的定义和性质进行证明。

假设A是正半定矩阵，B是正定矩阵，C=A+B，则对于任意非零向量x，有x^T C x = x^T A x + x^T B x。

由于A是正半定矩阵，所以x^T A x >= 0，而B是正定矩阵，所以x^T B x > 0。因此，x^T C x = x^T A x + x^T B x > 0，即C是正定矩阵。

因此，正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵。