如何判断是不是正定矩阵

一个矩阵是正定矩阵，当且仅当它的所有特征值都大于零。

具体的判断方法可以有以下几种：

1. 判断矩阵的所有主子式的行列式是否都大于零。主子式是指从矩阵的左上角开始，连续取出一些行和一些列组成的子矩阵，并计算其行列式。如果所有主子式的行列式都大于零，则该矩阵是正定矩阵。

2. 判断矩阵的特征值是否都大于零。特征值是指矩阵与一个非零向量相乘后，得到的新向量与原向量方向相同或相反，但长度不同的情况下，新向量的长度与原向量长度的比值。如果矩阵的所有特征值都大于零，则该矩阵是正定矩阵。

3. 判断矩阵是否可以分解为 $A = B^TB$ 的形式，其中 $B$ 是一个非奇异矩阵。如果可以，则 $A$ 是正定矩阵。

4. 判断矩阵的所有主元是否都大于零。主元是指矩阵的每个非零元素所在的行和列都没有被其它非零元素占用的元素。如果矩阵的所有主元都大于零，则该矩阵是正定矩阵。

相关问题

判断一个矩阵是不是正定矩阵

一个矩阵是正定矩阵，当且仅当它的所有特征值都为正数。换句话说，如果矩阵A是正定的，那么对于任何非零向量x，都有x^T*A*x > 0，其中x^T表示x的转置，*表示矩阵乘法。这个条件也可以表示为A的所有顺序主子式都大于0。如果A不是正定的，则称其为半正定矩阵。

在数值计算中，判断一个矩阵是否正定通常通过计算其特征值来实现。如果一个矩阵的所有特征值都大于0，则该矩阵为正定矩阵。

matlab判断对称正定矩阵

在MATLAB中，可以使用以下代码判断一个矩阵是否为对称正定矩阵：

A = [1 2 3; 2 5 6; 3 6 9];   % 假设A为一个矩阵
if issymmetric(A) && all(eig(A) > 0)
    disp('A是对称正定矩阵');
else
    disp('A不是对称正定矩阵');
end

其中，`issymmetric(A)`函数用来判断矩阵A是否为对称矩阵，`eig(A)`函数用来计算矩阵A的特征值，`all(eig(A) > 0)`判断矩阵A的所有特征值是否大于0，如果同时满足这两个条件，则矩阵A是对称正定矩阵。