A可逆,B不可逆,如何证明cond(A)*||A-B||≥||A||
时间: 2024-10-14 17:00:58 浏览: 8
当我们面对这样的不等式 \( cond(A) \cdot ||A - B|| \geq ||A|| \),其中 \( cond(A)\) 表示矩阵 \( A \) 的条件数,它是矩阵 \( A \) 的最大特征值与最小特征值的比值,衡量了矩阵的奇异程度。矩阵 \( B \) 被假设为不可逆(即不是满秩的),这通常意味着它的行列式为零,或者它有非零解。
由于 \( B \) 不可逆,\( A - B \) 可能会失去秩,也就是说 \( A - B \) 的秩小于 \( A \) 的秩。在这种情况下,如果我们加上 \( cond(A) \),这个因子通常是正的且反映 \( A \) 的条件数,它会使不等式的左侧变得更强大,因为条件数越大,矩阵越容易受到初始误差的影响。
为了证明这个不等式,我们可以从两个方面考虑:
1. 如果 \( A \) 和 \( B \) 非常接近,那么 \( ||A - B|| \) 就会相对较大,而 \( cond(A) \) 保持不变,使得左侧的乘积大于 \( ||A|| \)。
2. 即便 \( A \) 和 \( B \) 相差很大,如果 \( cond(A) \) 非常大,足以补偿 \( A - B \) 的变化,不等式也可能成立。
然而,要注意的是,这个不等式并不总是严格的。如果 \( cond(A) \) 很小或者 \( A - B \) 的范数很小,不等式可能会失效。而且,当 \( cond(A) = 0 \) 或者 \( A \) 是方阵且单位矩阵时,由于条件数定义的要求,该不等式将变为 \( 0 \cdot ||A - B|| = 0 \),这显然无法保证 \( ||A|| \) 的大小。
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