、设A是n阶非奇异矩阵, R是正交矩阵,k是任意非零常数,则条件数cond(kRA)= ( )。
时间: 2024-04-04 11:29:30 浏览: 22
设矩阵 B = kRA,则有:
cond(B) = ||B|| · ||B^-1||
其中,||·|| 表示矩阵的范数。
我们可以通过以下步骤来计算 cond(B):
1. 首先,我们可以计算出 ||B|| 的值。由于 R 是正交矩阵,因此其范数等于 1,即 ||R|| = 1。因此,有:
||B|| = ||kRA|| = |k| · ||R|| · ||A|| = |k| · ||A||
2. 接下来,我们需要计算出 ||B^-1|| 的值。由于 B = kRA,因此 B^-1 = (kRA)^-1 = A^-1 R^-1 k^-1。由于 R 是正交矩阵,因此 R^-1 = R^T。因此,有:
||B^-1|| = ||A^-1 R^-1 k^-1|| = ||A^-1 R^T k^-1||
3. 我们可以继续计算 ||B^-1|| 的值。注意到 A 是非奇异矩阵,因此 A^-1 存在。因此,有:
||B^-1|| = ||A^-1 R^T k^-1|| = ||A^-1|| · ||R^T|| · |k^-1|
由于 R 是正交矩阵,因此其转置矩阵也是正交矩阵,因此有 ||R^T|| = ||R|| = 1。因此,有:
||B^-1|| = ||A^-1|| · |k^-1|
4. 综合上述结果,我们可以得到:
cond(B) = ||B|| · ||B^-1|| = |k| · ||A|| · ||A^-1|| · |k^-1| = |k|^2 · cond(A)
因此,有:
cond(kRA) = cond(B) = |k|^2 · cond(A)
因此,答案是 |k|^2 · cond(A)。
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