证明定理:互反正矩阵时一致性矩阵的充分必要条件是最大特征值=矩阵阶数
时间: 2024-05-06 11:13:59 浏览: 30
互反正矩阵是指一个方阵A,满足A与其逆矩阵A^-1互为逆矩阵。一致性矩阵是指一个方阵B,满足B的每一行元素之和都相等,并且每一列元素之和也相等。
证明:互反正矩阵时一致性矩阵的充分必要条件是最大特征值=矩阵阶数。
充分性证明:
假设A是一个互反正矩阵,即A与其逆矩阵A^-1互为逆矩阵。我们知道,A的特征值与A^-1的特征值互为倒数。由于A是互反正矩阵,所以A的特征值都不为零。设A的最大特征值为λ_max,则A^-1的最大特征值为1/λ_max。由于A是一致性矩阵,所以A的每一行元素之和都相等,记为s。则有:
A * (1/n * [1, 1, ..., 1]^T) = (1/n * [s, s, ..., s]^T)
其中n为矩阵A的阶数。由于A的最大特征值为λ_max,所以有:
(1/n * [s, s, ..., s]^T) = λ_max * (1/n * [1, 1, ..., 1]^T)
即s = λ_max。因此,互反正矩阵A是一致性矩阵的充分条件是最大特征值等于矩阵的阶数。
必要性证明:
假设A是一个一致性矩阵,并且最大特征值为λ_max。我们知道,A的特征值与A^-1的特征值互为倒数。由于A是一致性矩阵,所以A的每一行元素之和都相等,记为s。设A的阶数为n,则有:
A * (1/n * [1, 1, ..., 1]^T) = (1/n * [s, s, ..., s]^T)
由于A的最大特征值为λ_max,所以有:
(1/n * [s, s, ..., s]^T) = λ_max * (1/n * [1, 1, ..., 1]^T)
即s = λ_max。因此,一致性矩阵A的必要条件是最大特征值等于矩阵的阶数。