设A∈C^(nxn)，λi是A的特征值，σi是A的奇异值。证明(∑i)|λi|^2≤tr（A^HA）=tr(AA^H)=(∑i)σi^2等式成立的充分条件是A为正规矩阵

首先，我们有以下结论：

对于任意复矩阵A，有tr(AA^H) = ∑|a_ij|^2，其中a_ij为A的元素。

证明：

tr(AA^H) = tr((A^H)^HA) = ∑|a_ij|^2，其中a_ij为A的元素。

根据谱定理，正规矩阵可以对角化为：

A = UΛU^H，其中U是酉矩阵，Λ是对角矩阵，对角线上的元素为特征值λ_i。

因此，A^H = UΛ^HU^H，可以得到：

AA^H = UΛU^H UΛ^HU^H = UΛΛ^HU^H

tr(AA^H) = tr(UΛΛ^HU^H) = tr(ΛΛ^H)

而对于一个对角矩阵Λ，ΛΛ^H的对角线上的元素为|λ_i|^2。

因此，tr(ΛΛ^H) = ∑|λ_i|^2，所以tr(AA^H) = ∑|λ_i|^2。

又因为A为正规矩阵，所以A可以对角化为A = UΛU^H，其中U是酉矩阵，Λ是对角矩阵，对角线上的元素为特征值λ_i。

因此，A^HA = (UΛU^H)^H(UΛU^H) = UΛ^HΛU^H

tr(A^HA) = tr(UΛ^HΛU^H) = tr(Λ^HΛ)

对于一个对角矩阵Λ，Λ^HΛ的对角线上的元素为|λ_i|^2。

因此，tr(Λ^HΛ) = ∑|λ_i|^2，所以tr(A^HA) = ∑|λ_i|^2。

又因为A为正规矩阵，所以A可以对角化为A = UΣV^H，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素为奇异值σ_i。

因此，|a_ij|^2 = |∑σ_k(u_ikv_jk^*)|^2 = ∑|σ_k|^2|u_ik|^2|v_jk|^2

tr(AA^H) = ∑|a_ij|^2 = ∑∑|σ_k|^2|u_ik|^2|v_jk|^2

因此，tr(AA^H) = ∑σ_i^2 成立。

综上所述，当A为正规矩阵时，有：

tr(AA^H) = ∑|λ_i|^2

tr(AA^H) = ∑σ_i^2

因此，等式成立的充分条件是A为正规矩阵。