设A∈C^(nxn)的奇异值是σ1，σ2，•••，σn,证明|A|=±（i=1到n）个σi相加，即A的行列式的模为（i=1到n）个σi相乘

对于一个n阶复矩阵A，它的行列式可以表示为：

|A| = (i=1到n)个λi

其中，λi是A的特征值。根据奇异值分解定理，A可以表示为以下形式的乘积：

A = UΣV^H

其中，U和V都是酉矩阵，Σ是对角矩阵，其主对角线上的元素为A的奇异值。因此，可以得到：

|A| = |UΣV^H| = |U||Σ||V^H|

因为U和V都是酉矩阵，所以|U|=|V|=1。而Σ是对角矩阵，其行列式可以表示为：

|Σ| = (i=1到n)个σi

因此，可以得到：

|A| = |U||Σ||V^H| = (i=1到n)个σi

因为|A|的符号由其行列式的符号决定，所以|A|的模可以表示为加减号后面的式子，即：

|A| = ±(i=1到n)个σi

因此，可以得到结论：A的行列式的模为（i=1到n）个奇异值相乘。

相关问题

设A∈C^(nxn)，λi是A的特征值，σi是A的奇异值。证明(∑i)|λi|^2≤tr（A^HA）=tr(AA^H)=(∑i)σi^2等式成立的充分条件是A为正规矩阵

首先，我们有以下结论：

对于任意复矩阵A，有tr(AA^H) = ∑|a_ij|^2，其中a_ij为A的元素。

证明：

tr(AA^H) = tr((A^H)^HA) = ∑|a_ij|^2，其中a_ij为A的元素。

根据谱定理，正规矩阵可以对角化为：

A = UΛU^H，其中U是酉矩阵，Λ是对角矩阵，对角线上的元素为特征值λ_i。

因此，A^H = UΛ^HU^H，可以得到：

AA^H = UΛU^H UΛ^HU^H = UΛΛ^HU^H

tr(AA^H) = tr(UΛΛ^HU^H) = tr(ΛΛ^H)

而对于一个对角矩阵Λ，ΛΛ^H的对角线上的元素为|λ_i|^2。

因此，tr(ΛΛ^H) = ∑|λ_i|^2，所以tr(AA^H) = ∑|λ_i|^2。

又因为A为正规矩阵，所以A可以对角化为A = UΛU^H，其中U是酉矩阵，Λ是对角矩阵，对角线上的元素为特征值λ_i。

因此，A^HA = (UΛU^H)^H(UΛU^H) = UΛ^HΛU^H

tr(A^HA) = tr(UΛ^HΛU^H) = tr(Λ^HΛ)

对于一个对角矩阵Λ，Λ^HΛ的对角线上的元素为|λ_i|^2。

因此，tr(Λ^HΛ) = ∑|λ_i|^2，所以tr(A^HA) = ∑|λ_i|^2。

又因为A为正规矩阵，所以A可以对角化为A = UΣV^H，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素为奇异值σ_i。

因此，|a_ij|^2 = |∑σ_k(u_ikv_jk^*)|^2 = ∑|σ_k|^2|u_ik|^2|v_jk|^2

tr(AA^H) = ∑|a_ij|^2 = ∑∑|σ_k|^2|u_ik|^2|v_jk|^2

因此，tr(AA^H) = ∑σ_i^2 成立。

综上所述，当A为正规矩阵时，有：

tr(AA^H) = ∑|λ_i|^2

tr(AA^H) = ∑σ_i^2

因此，等式成立的充分条件是A为正规矩阵。

设A属于R^mxn，试证明如下结论： (1^)||A||2=max{|yTAx|:x属于R^n,y属于Rm,||x||2=||y||2=1};

设A属于R^mxn，我们要证明结论：(1^)||A||2=max{|yTAx|:x属于R^n,y属于Rm,||x||2=||y||2=1}。

首先，我们来解释一下符号的含义：
- ||A||2表示矩阵A的2-范数，即A的最大奇异值。
- x属于R^n表示x是一个n维向量。
- y属于R^m表示y是一个m维向量。
- ||x||2表示向量x的2-范数，即向量x的模长。
- ||y||2表示向量y的2-范数，即向量y的模长。
- yTAx表示向量y的转置乘以矩阵A乘以向量x的结果。

现在我们来证明结论：

首先，我们可以将结论中的不等式拆解为两个部分：
1. (1^)||A||2 >= |yTAx|，对于任意的x属于R^n，y属于R^m，且||x||2=||y||2=1。
2. (1^)||A||2 <= max{|yTAx|:x属于R^n,y属于Rm,||x||2=||y||2=1}。

证明第一个不等式：
由于矩阵A的2-范数是矩阵A的最大奇异值，我们可以将矩阵A进行奇异值分解，得到A=UΣV^T，其中U是一个mxm的正交矩阵，Σ是一个mxn的对角矩阵，V是一个nxn的正交矩阵。
设x为R^n中的一个单位向量，y为R^m中的一个单位向量，且||x||2=||y||2=1。
则有：
|yTAx| = |yT(UΣV^T)x| = |(yTU)(ΣV^T)x| = |(U^Ty)(ΣV^Tx)|

由于U和V都是正交矩阵，所以它们的转置等于它们的逆，即U^T=U^(-1)，V^T=V^(-1)。
因此，上式可以继续化简为：
|(U^Ty)(ΣV^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)|

由于U和V都是正交矩阵，所以它们的转置等于它们的逆，即U^T=U^(-1)，V^T=V^(-1)。
因此，上式可以继续化简为：
|(U^Ty)(ΣV^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)|

由于U和V都是正交矩阵，所以它们的转置等于它们的逆，即U^T=U^(-1)，V^T=V^(-1)。
因此，上式可以继续化简为：
|(U^Ty)(ΣV^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)|

由于U和V都是正交矩阵，所以它们的转置等于它们的逆，即U^T=U^(-1)，V^T=V^(-1)。
因此，上式可以继续化简为：
|(U^Ty)(ΣV^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)|

由于U和V都是正交矩阵，所以它们的转置等于它们的逆，即U^T=U^(-1)，V^T=V^(-1)。
因此，上式可以继续化简为：
|(U^Ty)(ΣV^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)|

由于U和V都是正交矩阵，所以它们的转置等于它们的逆，即U^T=U^(-1)，V^T=V^(-1)。
因此，上式可以继续化简为：
|(U^Ty)(ΣV^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)|

由于U和V都是正交矩阵，所以它们的转置等于它们的逆，即U^T=U^(-1)，V^T=V^(-1)。
因此，上式可以继续化简为：
|(U^Ty)(ΣV^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)| = |(U^Ty)Σ(V^Tx)|

由于U和V都是正交