A={{2,0},{0,5}},求A的条件数cond(A)2
时间: 2024-04-28 16:20:37 浏览: 16
矩阵 A 的条件数 cond(A) 是指矩阵 A 的 2-范数与其逆矩阵的 2-范数的乘积,即:
cond(A) = ||A||2 ||A^-1||2
其中,||A||2 和 ||A^-1||2 分别为矩阵 A 和其逆矩阵的 2-范数。
首先,求矩阵 A 的 2-范数,有:
||A||2 = max{||Ax||2/||x||2},其中 x 是非零向量
将矩阵 A 带入上述公式,得到:
||A||2 = max{||Ax||2/||x||2} = max{sqrt((2x1)^2 + (5x2)^2)/sqrt(x1^2 + x2^2)}
显然,当 x = (0, 1)^T 时,||A||2 取到最大值,此时:
||A||2 = max{sqrt((2x0)^2 + (5x1)^2)/sqrt(0^2 + 1^2)} = sqrt(5^2) = 5
接下来,求矩阵 A 的逆矩阵及其 2-范数。
由于矩阵 A 是一个对角矩阵,其逆矩阵也是一个对角矩阵,且对角线上的元素分别为原矩阵对角线上的元素的倒数,即:
A^-1 = {{1/2, 0}, {0, 1/5}}
因此,矩阵 A 的逆矩阵的 2-范数为:
||A^-1||2 = max{||A^-1x||2/||x||2},其中 x 是非零向量
同样地,当 x = (0, 1)^T 时,||A^-1||2 取到最大值,此时:
||A^-1||2 = max{||A^-1x||2/||x||2} = max{sqrt((1/5x2)^2)/sqrt(x2^2)} = 1/5
因此,矩阵 A 的条件数 cond(A)2 为:
cond(A)2 = ||A||2 ||A^-1||2 = 5 * 1/5 = 1
因此,矩阵 A 的条件数 cond(A)2 为 1。
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