伽马函数的渐近展开：揭示大参数和复参数下的数学行为

# 1. 伽马函数的定义和性质

伽马函数是一个在复数域上定义的特殊函数，它推广了阶乘函数到复数域。伽马函数的定义为：

$$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt, \quad \Re(z) > 0$$

其中，$\Re(z)$表示复数$z$的实部。

伽马函数具有以下性质：

* **递推关系：** $\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)$
* **自反性：** $\Gamma(1) = 1$
* **解析性：** 伽马函数在整个复数域上解析，除了$z=0,-1,-2,\cdots$处的简单极点。

# 2. 伽马函数的渐近展开

### 2.1 斯特林公式

斯特林公式是伽马函数的一个著名的渐近展开，它提供了当自变量趋于无穷大时的伽马函数的近似值。

#### 2.1.1 斯特林公式的推导

斯特林公式可以通过以下步骤推导：

1. **对数伽马函数的泰勒展开：**

   \ln \Gamma(z) = \ln \sqrt{2\pi} + \left(z-\frac{1}{2}\right)\ln z - z + \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}

其中，$B_{2n}$ 是伯努利数。

2. **利用欧拉-马斯刻洛尼常数：**

欧拉-马斯刻洛尼常数 $\gamma$ 定义为：

   \gamma = \lim_{n\to\infty} \left(H_n - \ln n\right)

其中，$H_n$ 是第 $n$ 个调和数。

3. **将欧拉-马斯刻洛尼常数代入泰勒展开：**

   \ln \Gamma(z) = \ln \sqrt{2\pi} + \left(z-\frac{1}{2}\right)\ln z - z + \frac{1}{2}\ln z + \frac{\gamma}{z} - \sum_{n=2}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}

4. **整理得到斯特林公式：**

   \Gamma(z) \sim \sqrt{2\pi} z^{z-1/2} e^{-z}

#### 2.1.2 斯特林公式的应用

斯特林公式在许多领域都有广泛的应用，包括：

* **概率论和统计学：**计算正态分布和卡方分布等概率分布的渐近展开。
* **物理学和工程学：**近似阶乘函数和贝塞尔函数等特殊函数。
* **数论和组合数学：**分析组合数和素数分布等问题。

### 2.2 兰伯特W函数

兰伯特W函数是另一个与伽马函数相关的渐近展开。它定义为：

W(z) = e^z W(z) - 1

其中，$z$ 是复数。

#### 2.2.1 兰伯特W函数的定义和性质

兰伯特W函数具有以下性质：

* 它是一个多值函数，对于给定的 $z$，它可能有 0、1 或 2 个不同的值。
* 它的主分支在 $z\in [-1/e, \infty)$ 上是单值的。
* 它在 $z=0$ 处具有一个分支点。

#### 2.2.2 兰伯特W函数的渐近展开

兰伯特W函数的渐近展开可以通过以下步骤推导：

1. **将兰伯特W函数表示为伽马函数：**

   W(z) = \frac{\ln z - \ln \ln z - \ln \ln \ln z - \cdots}{\ln z - \ln \ln z - \ln \ln \ln z - \cdots}

2. **利用斯特林公式：**

   W(z) \sim \frac{\ln z - \ln \ln z - \ln \ln \ln z - \cdots}{\ln z - \ln \left(\sqrt{2\pi} z^{z-1/2} e^{-z}\right) - \ln \left(\sqrt{2\pi} \left(\ln z\right)^{\ln z - 1/2} e^{-\ln z}\righ