Python中有向图的最大流算法详解

# 1. 图论基础概述
- 1.1 图的基本概念
- 1.2 有向图的定义与性质
- 1.3 最大流算法介绍

# 2. 最大流问题概述
- 2.1 最大流问题的定义
- 2.2 最大流问题的实际应用
- 2.3 最大流问题求解方法

# 3. Ford-Fulkerson算法原理
- **3.1 Ford-Fulkerson算法基本思想**
- Ford-Fulkerson算法的核心是不断通过增广路径来找到最大流量的流网络。其基本思想是：从源节点到汇点通过增广路径进行流量增加，直到无法找到增广路径为止。
- **3.2 增广路径的寻找**
- 增广路径是指从源节点到汇点的一条路径，并且每条路径上的流量还没有达到边的容量上限。常用的方法有DFS（深度优先搜索）和BFS（广度优先搜索）。

- **3.3 Ford-Fulkerson算法的具体实现**
- Ford-Fulkerson算法的具体实现步骤：
1. 初始化残余网络：将每条边的流量设置为0；
2. 不断寻找增广路径：通过增广路径找到可增加的最大流量；
3. 更新残余网络：更新残余网络中的边的流量；
4. 重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径。

  def ford_fulkerson(graph, source, sink):
      # Step 1: Initialize residual graph with capacities and flows
      residual_graph = initialize_residual_graph(graph)
      # Step 2: Find augmenting paths in the residual graph
      while True:
          path = bfs(residual_graph, source, sink)
          if not path:
              break
          # Find the bottleneck capacity of the path
          bottleneck = get_bottleneck_capacity(path, residual_graph)
          # Update residual capacities along the augmenting path
          update_residual_capacities(path, bottleneck, residual_graph)
      # Step 3: Calculate the maximum flow
      max_flow = calculate_max_flow(residual_graph, source)
      return max_flow
  # Code Summary:
  # 1. Initialize residual graph with capacities and flows.
  # 2. Find augmenting paths using BFS in the residual graph.
  # 3. Update residual capacities