MATLAB线性规划整数规划：解决离散优化问题的终极利器

# 1. MATLAB线性规划简介

MATLAB线性规划工具箱提供了一系列函数，用于求解线性规划问题。线性规划问题是一种优化问题，其中目标函数和约束条件都是线性的。

MATLAB中的线性规划求解器基于内部点法，这是一种高效且可靠的求解算法。该算法通过迭代过程找到目标函数的最大值或最小值，同时满足所有约束条件。

MATLAB线性规划工具箱提供了各种功能，包括：

- 问题建模：将线性规划问题转换为MATLAB中的数学形式。
- 求解器：使用内部点法求解线性规划问题。
- 解释：提供有关求解过程和结果的信息。
- 可视化：绘制目标函数和约束条件，以及求解结果。

# 2. MATLAB 整数规划理论基础

### 2.1 整数规划问题定义和分类

整数规划问题 (ILP) 是一种优化问题，其中决策变量被限制为整数。与线性规划问题不同，整数规划问题中的变量不能取连续值。

ILP 的一般形式为：

min/max f(x)
s.t.
    Ax ≤ b
    x ≥ 0
    x ∈ Z^n

其中：

* f(x) 是目标函数，需要最小化或最大化。
* A 是 m × n 矩阵，b 是 m 维向量，定义了线性约束。
* x 是 n 维决策变量向量，其元素必须为整数。

根据变量的取值范围，ILP 可分为以下几类：

* **0-1 整数规划 (0-1 ILP)**：变量只能取 0 或 1。
* **混合整数规划 (MIP)**：变量可以取整数或连续值。
* **纯整数规划 (PIP)**：所有变量都必须取整数。

### 2.2 整数规划的求解方法

求解 ILP 问题有两种主要方法：

#### 2.2.1 分支定界法

分支定界法是一种递归算法，它将搜索空间划分为子空间，并逐一探索这些子空间。在每个子空间中，算法求解一个松弛的线性规划问题，并根据其解来确定子空间是否包含可行解。

#### 2.2.2 割平面法

割平面法是一种迭代算法，它通过添加新的约束来逼近 ILP 问题的可行域。这些约束称为割平面，它们可以帮助算法收敛到整数解。

### 2.3 整数规划的建模技巧

为了有效地求解 ILP 问题，需要使用适当的建模技巧：

#### 2.3.1 变量的整数化

将连续变量转换为整数变量可以通过以下方法实现：

* **二进制编码**：使用二进制变量表示整数变量。
* **大 M 法**：引入一个足够大的常数 M，迫使整数变量取整数值。

#### 2.3.2 目标函数的线性化

如果目标函数是非线性的，则需要将其线性化。这可以通过以下方法实现：

* **分段线性化**：将非线性函数分解成一系列线性段。
* **凸包**：找到非线性函数的凸包，并使用线性函数近似凸包。

# 3. MATLAB整数规划实践应用

### 3.1 0-1整数规划

#### 3.1.1 0-1整数规划问题建模

0-1整数规划是一种特殊的整数规划问题，其中所有决策变量只能取0或1的值。0-1整数规划问题通常用于解决选择问题，例如选择一组项目以最大化收益或最小化成本。

0-1整数规划问题的标准形式为：

max/min f(x)
s.t.
Ax ≤ b
x ∈ {0, 1}^n

其中：

* f(x) 是目标函数
* A 是约束矩阵
* b 是约束向量
* x 是决策变量向量

#### 3.1.2 0-1整数规划的求解方法

MATLAB提供了多种求解0-1整数规划问题的求解器，包括：

* **intlinprog()：**使用分支定界法求解0-1整数规划问题。
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