深入理解MATLAB线性规划敏感性分析：模型变化对结果的影响

# 1. 线性规划简介**

线性规划是一种数学优化技术，用于在满足一系列线性约束条件的情况下，最大化或最小化一个线性目标函数。它广泛应用于经济学、工程学和运筹学等领域。

线性规划模型由目标函数和一组线性约束条件组成。目标函数表示要优化（最大化或最小化）的量，而约束条件定义了问题的可行解空间。

线性规划问题的标准形式如下：

最大化/最小化 z = c^T x
约束条件：
Ax <= b
x >= 0

其中：

* z 是目标函数
* c 是目标函数系数向量
* x 是决策变量向量
* A 是约束矩阵
* b 是约束向量
* <= 表示小于或等于

# 2. MATLAB线性规划敏感性分析**

**2.1 敏感性分析的概念和重要性**

敏感性分析是线性规划问题中一项重要的技术，用于评估输入参数变化对目标函数值的影响。它可以帮助决策者了解模型的稳健性，并确定哪些参数对结果最敏感。

**2.2 MATLAB中线性规划敏感性分析的实现**

MATLAB提供了多种函数来执行线性规划敏感性分析。

**2.2.1 敏感性分析报告的生成**

`sensitivity(model)` 函数生成一个敏感性分析报告，其中包含以下信息：

* **对偶变量：**与每个约束条件相关联的影子价格。
* **系数变化：**目标函数和约束条件系数的允许变化范围，而不改变最优解。
* **右端变化：**约束条件右端的允许变化范围，而不改变最优解。

**2.2.2 敏感性参数的识别**

MATLAB还提供了以下函数来识别敏感性参数：

* `senscoeff(model)`：返回目标函数系数的敏感性系数。
* `sensrhs(model)`：返回约束条件右端的敏感性系数。

**2.2.3 敏感性分析的应用**

敏感性分析在以下方面有广泛的应用：

* **模型验证：**确定模型是否对输入参数的变化足够稳健。
* **参数优化：**识别对目标函数影响最大的参数，以便进行优化。
* **风险管理：**评估参数不确定性对目标函数的影响，并制定缓解策略。

**代码示例：**

% 定义线性规划模型
model.f = [3; 2];
model.A = [1, 1; 2, 3];
model.b = [6; 10];
model.lb = [0; 0];

% 求解线性规划问题
[x, fval] = linprog(model.f, [], [], model.A, model.b, model.lb);

% 生成敏感性分析报告
sensitivity_report = sensitivity(model);

% 打印敏感性分析报告
disp(sensitivity_report);

**代码逻辑分析：**

* `linprog` 函数求解线性规划问题，返回最优解 `x` 和目标函数值 `fval`。
* `sensitivity` 函数生成敏感性分析报告，其中包含对偶变量、系数变化和右端变化的信息。
* `disp` 函数打印敏感性分析报告。

# 3. 敏感性分析的理论基础

### 3.1 对偶性理论与敏感性分析

对偶性理论是线性规划敏感性分析的重要理论基础。在对偶性理论中，一个线性规划问题及其对偶问题之间存在着密切的关系。线性规划问题的对偶问题可以表示为：

min c^T x
s.t. Ax = b
x ≥ 0

其中，c、A、b 分别为线性规划问题的目标函数系数、约束矩阵和约束向量。

对偶问题的最优解为线性规划问题的最优解的阴影价格。阴影价格表示约束条件的松弛程度，即在约束条件发生微小变化时，目标函数的变化量。因此，通过对偶性理论，我们可以通过求解对偶问题来获得线性规划问题的敏感性信息。

### 3.2 阴影价格与敏感性分析

阴影价格是敏感性分析中一个重要的概念。阴影价格表示约束条件的松弛程度，即在约束条件发生微小变化时，目标函数的变化量。

对于线性规划问题：

max c^T x
s.t. Ax ≤ b
x ≥ 0

约束条件 i 的阴影价格为：

π_i = c^T x_B^-1 a_i

其中，x_B^-1 为基可行解的逆矩阵，a_i 为约束条件 i 的系数向量。

阴影价格可以用来分析约束条件对目标函数的影响。如果约束条