MATLAB曲线图与优化：可视化优化算法收敛过程，追踪算法进展

# 1. MATLAB曲线图基础**

MATLAB曲线图是用于可视化和分析数据的强大工具。它们可以帮助您理解数据的模式和趋势，并识别异常值或异常情况。

MATLAB提供了各种函数来创建曲线图，包括`plot()`、`semilogy()`和`semilogx()`。这些函数允许您绘制数据点、拟合曲线和添加标签和标题。

曲线图可以定制以满足您的特定需求。您可以更改线宽、颜色、标记类型和刻度范围。您还可以添加图例、注释和文本框以提供额外的信息。

# 2.1 优化算法的原理与可视化

### 2.1.1 梯度下降法

梯度下降法是一种迭代优化算法，用于最小化目标函数。它通过沿目标函数梯度的负方向迭代移动来更新变量，从而找到函数的局部极小值。

**原理：**

% 目标函数
f = @(x) x^2 + 2*x + 3;

% 初始值
x = 0;

% 学习率
alpha = 0.1;

% 迭代次数
num_iterations = 100;

for i = 1:num_iterations
    % 计算梯度
    gradient = 2*x + 2;
    % 更新变量
    x = x - alpha * gradient;
end

**可视化：**

可以使用曲线图可视化梯度下降法的收敛过程。

% 绘制目标函数
x_values = linspace(-10, 10, 100);
y_values = f(x_values);
plot(x_values, y_values, 'b', 'LineWidth', 2);

% 绘制梯度下降路径
hold on;
plot(x_values, x_values.^2 + 2*x_values + 3, 'r', 'LineWidth', 2);

% 绘制迭代点
plot(x, f(x), 'ro', 'MarkerSize', 10);

xlabel('x');
ylabel('f(x)');
legend('目标函数', '梯度下降路径', '迭代点');

### 2.1.2 牛顿法

牛顿法是一种二阶优化算法，用于最小化目标函数。它通过使用目标函数的二阶导数（海森矩阵）来近似目标函数，从而找到函数的局部极小值。

**原理：**

% 目标函数
f = @(x) x^2 + 2*x + 3;

% 初始值
x = 0;

% 学习率
alpha = 0.1;

% 迭代次数
num_iterations = 100;

for i = 1:num_iterations
    % 计算梯度
    gradient = 2*x + 2;
    % 计算海森矩阵
    hessian = 2;
    % 更新变量
    x = x - alpha * (hessian \ gradient);
end

**可视化：**

可以使用曲线图可视化牛顿法的收敛过程。

% 绘制目标函数
x_values = linspace(-10, 10, 100);
y_values = f(x_values);
plot(x_values, y_values, 'b', 'LineWidth', 2);

% 绘制牛顿法路径
hold on;
plot(x_values, x_values.^2 + 2*x_values + 3, 'r', 'LineWidth', 2);

% 绘制迭代点
plot(x, f(x), 'ro', 'MarkerSize', 10);

xlabel('x');
ylabel('f(x)');
legend('目标函数', '牛顿法路径', '迭代点');

# 3.1 绘制优化算法收敛曲线

#### 3.1.1 使用plot()函数

`plot()`函数是MATLAB中用于绘制二维曲线的基本函数。它接受两个向量作为输入：x向量（横轴值）和y向量（纵轴值）。

% 定义x和y数据
x = 1:100;
y = sin(x);

% 使用plot()函数绘制曲线
plot(x, y);

% 添加标题和标签
title('正弦函数曲线');
xlabel('x');
ylabel('sin(x)');

**逻辑分析：**

* `plot(x, y)`：使用`plo