正弦波的时频分析：短时傅里叶变换与小波变换的奥秘

# 1. 正弦波的时频分析基础**

正弦波是一种周期性的波形，其时域表示为 `y(t) = A * sin(2πft + φ)`，其中 `A` 为振幅，`f` 为频率，`φ` 为相位。在时域中，正弦波的频率和相位是恒定的。

然而，在现实世界中，信号通常是时变的，其频率和相位会随着时间而变化。为了分析这种时变信号，需要使用时频分析技术，该技术可以同时揭示信号在时域和频域中的信息。

# 2. 短时傅里叶变换（STFT）

### 2.1 STFT 的原理和算法

#### 2.1.1 时频窗口的概念

时频窗口是一个二维函数，用于截取信号的一段局部区域，并对其进行傅里叶变换。它在时域和频域上都具有有限的宽度，从而可以同时获得信号的时域和频域信息。

#### 2.1.2 滑动窗口傅里叶变换

STFT 是通过将时频窗口沿时域滑动，并对每个窗口内的信号进行傅里叶变换来实现的。滑动步长决定了时域分辨率，窗口宽度决定了频域分辨率。

### 2.2 STFT 的应用

#### 2.2.1 信号特征提取

STFT 可以提取信号的时频特征，例如功率谱密度（PSD）、瞬时频率和包络。这些特征可以用于信号分类、故障诊断和语音识别。

#### 2.2.2 音乐分析

STFT 在音乐分析中广泛应用，例如和弦识别、音高检测和音乐风格分类。它可以提供音乐信号的时频表示，从而揭示其谐波结构和调制特性。

### 2.3 STFT 的局限性

STFT 的主要局限性在于其时频分辨率的权衡。较大的窗口宽度提高了频域分辨率，但降低了时域分辨率；反之亦然。此外，STFT 对于非平稳信号的分析效果较差，因为它假设信号在窗口内是平稳的。

**代码块：**

import numpy as np
from scipy.signal import stft

# 定义信号
signal = np.sin(2 * np.pi * 100 * np.linspace(0, 1, 1000))

# 设置窗口参数
window_length = 256
window_step = 128

# 执行 STFT
stft_result = stft(signal, fs=1000, window='hann', nperseg=window_length, noverlap=window_step)

# 提取时频信息
frequencies, times, spectrogram = stft_result

**代码逻辑分析：**

* `stft()` 函数执行 STFT，返回频率、时间和时频谱图。
* `fs` 参数指定信号的采样频率。
* `window` 参数指定时频窗口类型，这里使用汉宁窗。
* `nperseg` 参数指定窗口长度。
* `noverlap` 参数指定窗口重叠量。

**参数说明：**

* `frequencies`：时频谱图中的频率值。
* `times`：时频谱图中的时间点。
* `spectrogram`：时频谱图，表示信号在不同时间和频率上的能量分布。

# 3. 小波变换（WT）

### 3.1 WT 的原理和算法

#### 3.1.1 小波基的概念

小波变换是一种时频分析技术，它使用称为小波基的函数来分解信号。小波基是一个具有有限持续时间和平均值为零的振荡函数。与傅里叶基不同，小波基在时域和频域上都具有局部化特性。

#### 3.1.2 小波变换的实现

小波变换可以通过卷积运算来实现。给定一个信号 `x(t)` 和一个小波基 `ψ(t)`，小波变换 `WT(a, b)` 定义为：

WT(a, b) = ∫x(t) * ψ(t -