正弦波的非平稳性分析：时变谱与瞬时频率的揭示

# 1. 正弦波的非平稳性概述

正弦波是一种周期性信号，其幅度和频率保持恒定。然而，在现实世界中，许多信号表现出非平稳性，即它们的幅度和频率随时间变化。非平稳正弦波在各个领域都有广泛的应用，例如振动分析、语音处理和生物信号处理。

非平稳正弦波的分析对于理解和处理这些信号至关重要。时变谱分析和瞬时频率分析是用于分析非平稳正弦波的两种主要技术。时变谱分析提供信号的时频表示，而瞬时频率分析估计信号的瞬时频率。这些技术使我们能够深入了解非平稳正弦波的动态特性，并从中提取有价值的信息。

# 2. 时变谱分析

### 2.1 时频分析的基本原理

时变谱分析是一种分析非平稳信号中时频成分随时间变化的强大工具。它通过将信号分解为一系列局部时频成分来实现，这些成分可以揭示信号中隐藏的模式和特征。

**2.1.1 短时傅里叶变换（STFT）**

STFT 是时频分析最常用的技术之一。它将信号划分为一系列重叠的时窗，并对每个时窗应用傅里叶变换。这产生了一个时频谱图，其中时间轴表示时间，频率轴表示频率，而幅度表示信号在该特定时间和频率下的能量。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 信号
signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * np.linspace(0, 1, 1000))

# 时窗长度
window_length = 256

# STFT
stft = np.abs(np.fft.stft(signal, window_length))

# 绘制时频谱图
plt.imshow(stft, aspect='auto')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('频率')
plt.colorbar()
plt.show()

**2.1.2 小波变换（WT）**

小波变换是另一种用于时频分析的技术。它使用一系列称为小波的小型、局部化函数来分析信号。小波变换提供比 STFT 更精细的时间分辨率，但频率分辨率较低。

import pywt

# 信号
signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * np.linspace(0, 1, 1000))

# 小波名称
wavelet_name = 'db4'

# 小波变换
coeffs = pywt.wavedec(signal, wavelet_name)

# 绘制时频谱图
plt.imshow(pywt.waverec(coeffs, wavelet_name), aspect='auto')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('尺度')
plt.colorbar()
plt.show()

### 2.2 时变谱的计算和可视化

**2.2.1 时频谱图的绘制**

时频谱图是时变谱分析的常见可视化表示形式。它显示了信号中时频成分随时间的变化。时频谱图可以揭示信号中隐藏的模式和特征，例如调频、幅度调制和非平稳性。

**2.2.2 时频特征的提取**

从时频谱图中可以提取各种时频特征，以表征信号的非平稳性。这些特征包括：

* **能量谱密度 (PSD)：**表示信号在特定时间和频率下的能量。
* **中心频率：**表示信号在特定时间点的平均频率。
* **带宽：**表示信号在特定时间点的频率范围。
* **调制指数：**表示信号的频率或幅度随时间的变化程度。

# 3.1 瞬时频率的定义和性质

#### 3.1.1 瞬时频率的物理意义

瞬时频率表示信号在某个时刻的频率变化率，反映了信号的局部频率特性。对于正弦波信号，瞬时频率等于信号的角频率，即：

ω(t) = dθ(t)/dt

其中，θ(t) 为信号的瞬时相位。

#### 3.1.2 瞬时频率的数学定义

瞬时频率可以定义为信号的解析信号的复指数部分的导数：

ω(t) = d[e^(jθ(t))]/dt = jθ'(t)

其中，θ'(t) 为瞬时相位的导数。

瞬时频率具有以下性质：

* **非负性：**瞬时频率总是大于或等于零。
* **单调性：**瞬时频率在信号的每个时刻都是单调的。
* **连续性：**瞬时频率在信号的连续部分是连续的。
* **局部性：**瞬时频率只反映信号在某个时刻的局部频率特性。

### 3.2 瞬时频率的估计方法

#### 3.2.1 希尔伯特变换（HT）

希尔伯特变换是一种数学工具，可以将实值信号转换为复值信号。复值信号的虚部表示信号的希尔伯特变换，其导数即为瞬时频率：

ω(t) = d[H(x(t))]/dt

其中，H(x(t)) 为信号 x(t) 的希尔伯特变换。

#### 3.2.2 相位梯度法（PGM）

相位梯度法是一种基于相位估计的瞬时频率估计方法。其基本原理是通过计算相邻采样点之间的相位差来估计瞬时频率：

ω(t) = (θ(t+Δt) - θ(t))/Δt

其中，Δt 为采样间隔。

**代码块：**

import numpy as np

def pgm(x, fs):
    """
    相位梯度法估计瞬时频率

    参数：
        x: 输入信号
        fs: 采样频率

    返回：
        瞬时频率
    """

    # 计算相位
    phase = np.unwrap(np.angle(x))

    # 计算相位梯度
    phase_gradient = np.gradient(phase,