CART决策树算法在决策支持系统中的中流砥柱：辅助决策与提升效率

# 1. CART决策树算法概述**

CART（分类和回归树）决策树算法是一种机器学习算法，用于预测目标变量的值。它通过递归地将数据分割成较小的子集来构建决策树，每个子集代表目标变量的不同值。CART算法使用信息增益或基尼不纯度等指标来选择最佳分割特征，并使用最小化目标变量方差的准则来确定每个子集的最佳分割点。

# 2.1 信息增益和信息熵

### 信息增益

信息增益是衡量特征对目标变量分类能力的指标。它表示在使用特征划分数据集后，目标变量的不确定性减少的程度。信息增益越大，特征对目标变量的分类能力越强。

信息增益的计算公式为：

IG(S, A) = H(S) - H(S|A)

其中：

- `IG(S, A)` 表示特征 `A` 对数据集 `S` 的信息增益
- `H(S)` 表示数据集 `S` 的熵
- `H(S|A)` 表示在使用特征 `A` 划分数据集 `S` 后，数据集 `S` 的条件熵

### 信息熵

信息熵衡量数据集的不确定性程度。它表示数据集中的样本分布有多均匀。信息熵越大，数据集的不确定性越大。

信息熵的计算公式为：

H(S) = -Σ(p_i * log2(p_i))

其中：

- `H(S)` 表示数据集 `S` 的信息熵
- `p_i` 表示数据集 `S` 中第 `i` 类样本的概率

### 示例

考虑一个二分类数据集，其中目标变量有 "是" 和 "否" 两类。数据集的样本分布如下：

| 样本 | 目标变量 |
|---|---|
| 1 | 是 |
| 2 | 是 |
| 3 | 否 |
| 4 | 否 |

该数据集的信息熵为：

H(S) = -((1/4) * log2(1/4) + (1/4) * log2(1/4) + (1/4) * log2(1/4) + (1/4) * log2(1/4)) = 2

现在，我们使用特征 "年龄" 划分数据集。年龄小于 30 岁的样本被分配到子集 `S1`，年龄大于或等于 30 岁的样本被分配到子集 `S2`。

子集 `S1` 的样本分布如下：

| 样本 | 目标变量 |
|---|---|
| 1 | 是 |
| 2 | 是 |

子集 `S2` 的样本分布如下：

| 样本 | 目标变量 |
|---|---|
| 3 | 否 |
| 4 | 否 |

子集 `S1` 的信息熵为：

H(S1) = -((1/2) * log2(1/2) + (1/2) * log2(1/2)) = 1

子集 `S2` 的信息熵为：