机器人动力学计算基础：3种方法利用Robotics Toolbox轻松模拟


# 摘要
本论文探讨了机器人动力学计算的基础知识，并对Robotics Toolbox的安装、配置及其在机器人建模和动力学模拟中的应用进行了详细介绍。通过对机器人连杆表示、运动学计算方法的阐述，以及Robotics Toolbox功能的介绍，本文旨在提供机器人建模的技术基础和实践指南。此外，还比较了基于拉格朗日方程、牛顿-欧拉方法和虚功原理的三种动力学模拟方法，并通过具体的实践案例分析，展示了如何在2R机械臂和多自由度机器人模型中实现动力学模拟。最后，论文讨论了模拟结果的评估标准和优化策略，以提高动力学模拟的准确性和计算效率。

# 关键字
机器人动力学；Robotics Toolbox；建模；动力学模拟；拉格朗日方程；牛顿-欧拉方法

参考资源链接：[MATLAB Robotics Toolbox：PUMA560建模与D-H参数详解](https://wenku.csdn.net/doc/5e34178rzu?spm=1055.2635.3001.10343)
# 1. 机器人动力学计算基础

机器人动力学计算是机器人学的一个核心分支，它关注于如何量化和分析机器人在执行任务时所受到的力量和扭矩，以及这些力量和扭矩如何影响机器人的运动。在本章，我们将探讨机器人动力学计算的基础概念，包括力、扭矩、质量和惯性的物理概念，以及它们如何在机器人的关节和连杆上产生动态效果。

## 1.1 力和扭矩的基础

力是改变物体运动状态的原因，它与物体的质量和加速度相关联。在机器人动力学中，力的计算通常涉及到机器人的重量、摩擦力以及由电机产生的驱动力。扭矩则是力的作用效果，它使得物体绕某个轴旋转。在连杆上正确计算和应用扭矩对于确保机器人平稳、精确地运动至关重要。

## 1.2 质量和惯性的概念

质量是物体惯性的量度，反映了物体对运动状态变化的抵抗程度。在机器人动力学中，每一连杆的质量都必须考虑，因为连杆的质量分布会影响整个机器人的动力学特性。惯性张量是一个描述物体对旋转运动抵抗程度的矩阵，它对于计算力矩和旋转动力学是必不可少的。

## 1.3 运动学与动力学的关系

运动学分析了物体的位置、速度和加速度，而不考虑力的作用。动力学则是建立在运动学的基础上，通过牛顿第二定律F=ma（力等于质量乘以加速度）等物理定律，将力和扭矩纳入考虑。对于机器人而言，理解力和运动之间的关系至关重要，因为这直接关系到机器人的控制策略和执行任务的能力。

通过对这些基础概念的讨论，我们可以为后续章节中使用Robotics Toolbox进行高级动力学模拟和建模打下坚实的理论基础。

# 2. Robotics Toolbox简介

### 2.1 工具箱的安装与配置

#### 2.1.1 MATLAB环境下的安装步骤

Robotics Toolbox 是一个用于机器人建模、仿真和分析的MATLAB工具箱。它提供了一组丰富的函数和对象，使用户能够轻松创建机器人模型，进行运动学和动力学的分析。以下是Robotics Toolbox在MATLAB环境下安装的基本步骤：

1. 确保已经安装了MATLAB环境。Robotics Toolbox不支持单独运行，必须在MATLAB环境中才能使用。
2. 从Peter Corke的官方网站下载Robotics Toolbox的最新版本。目前最新版本是Peter Corke教授开发的Robotics Toolbox for MATLAB。
3. 将下载的文件解压到一个合适的目录中。
4. 打开MATLAB，通过MATLAB的命令窗口，使用`addpath`函数将Robotics Toolbox所在的目录添加到MATLAB的搜索路径中。例如，如果Robotics Toolbox解压后的路径是`C:\RoboticsToolbox`，那么在MATLAB命令窗口中输入以下命令：

addpath('C:\RoboticsToolbox');

5. 重新启动MATLAB或者使用`rehash`命令来更新路径。

rehash;

6. 完成以上步骤后，输入`rtb`命令，如果工具箱安装正确，将会看到Robotics Toolbox的一些基本信息和帮助文档的链接。

rtb;

#### 2.1.2 配置Robotics Toolbox环境

在成功安装Robotics Toolbox后，还需要进行一些基本的配置，以确保工具箱能够正常工作，并且根据用户的特定需求进行优化。以下是配置Robotics Toolbox环境的推荐步骤：

1. 配置数据类型精度。Robotics Toolbox允许用户自定义数据类型的精度，以满足不同的计算要求。可以通过设置` robotics精度设置`函数来进行设置。例如，设置浮点数的精度为`double`：

rtb_precision('double');

2. 配置图形输出选项。Robotics Toolbox提供了模型的可视化功能，用户可以设置图形界面的一些显示参数，如窗口标题、背景颜色等。使用`setplot`函数进行设置：

setplot('title','My Robot Visualization');

3. 安装额外工具箱。Peter Corke还开发了其他工具箱，如Robotics System Toolbox，用于更高级的机器人仿真和分析。如果需要，可以按照上述类似步骤安装其他工具箱。

4. 配置帮助文档。Robotics Toolbox自带了一套丰富的帮助文档，用户可以通过帮助命令访问。如果需要额外的文档或者样例程序，可以从官方网站下载或使用MATLAB的`web`函数在线访问。

通过以上步骤，我们可以确保Robotics Toolbox在MATLAB环境下能够被正确安装和配置，为后续的机器人建模和动力学分析提供一个良好的工作环境。

### 2.2 工具箱的主要功能与组成

#### 2.2.1 工具箱提供的主要函数和对象

Robotics Toolbox提供了大量的函数和对象，它们可以用来创建机器人模型，计算运动学，模拟动力学，以及进行路径规划等。以下是Robotics Toolbox中一些主要的函数和对象：

1. **机器人表示**：使用`SerialLink`和`SerialLinkClass`类来创建和管理串联机器人模型。
2. **运动学求解**：包括`fkine`（正运动学）、`ikine`（逆运动学）、`jacob0`（零空间雅可比矩阵）等函数。
3. **动力学计算**：`mdldyn`（马尔可夫动力学模型）、`invdyn`（逆动力学计算）等函数。
4. **轨迹生成和运动规划**：`jtraj`（关节空间轨迹）、`ctraj`（笛卡尔空间轨迹）、`planner`（运动规划器）等函数。
5. **工具箱内置机器人模型**：工具箱提供了一些常见的工业机器人模型，如Puma 560、Stäubli RX130等，可以直接使用。

#### 2.2.2 工具箱的模块化设计

Robotics Toolbox的设计采用了模块化理念，用户可以根据需要灵活地创建和组合不同的模块来执行特定的任务。模块化的优点包括：

1. **易于扩展**：如果需要额外的功能，可以简单地添加新的模块而不影响现有的代码结构。
2. **代码复用**：用户创建的模块可以被其他模块复用，从而提高了开发效率。
3. **灵活组合**：模块化的结构允许用户根据特定的应用场景，快速组合不同的功能模块来完成任务。

举个例子，如果用户想对一个机器人进行逆运动学分析，可以使用`ikine`函数。而逆动力学计算则可能需要`invdyn`函数。对于更复杂的任务，比如路径规划，用户可以创建一个规划器模块，该模块内部可能调用了`jtraj`和`ctraj`等函数来生成轨迹。

在Robotics Toolbox中，模块化的具体实现依赖于面向对象编程技术，如类（Class）和方法（Methods）。这种方式不仅提高了代码的可读性，也便于团队协作和代码维护。

在接下来的章节中，我们将探讨如何使用Robotics Toolbox创建和模拟机器人模型，以及如何进行动力学分析。通过这些实例，读者将更深入地理解Robotics Toolbox的强大功能和灵活性。

# 3. 使用Robotics Toolbox进行机器人建模

## 3.1 机器人建模基础

### 3.1.1 机器人连杆的表示方法

在进行机器人建模时，连杆是构成机器人的基本单元。连杆代表机器人的一个关节及其相邻的两个刚体部分。在Robotics Toolbox中，连杆被表示为一个结构体，它包括了连杆的质量属性、几何属性和关节属性。这些属性对于后续的动力学计算至关重要。

% 示例代码，展示如何在Robotics Toolbox中定义一个简单的连杆
L(1) = Link('d', 0.2, 'a', 0, 'alpha', pi/2);

上述代码定义了一个具有特定距离（`d`）、长度（`a`）和扭角（`alpha`）的连杆。这里的`Link`函数是Robotics Toolbox中用于创建连杆对象的函数。`d`代表关节到下一个关节的距离，`a`是两个关节中心之间的长度，`alpha`是连杆之间的扭转角。

### 3.1.2 正运动学的计算方法

正运动学是指从已知关节角度计算机器人末端执行器位置和姿态的过程。在Robotics Toolbox中，可以通过DH参数（Denavit-Hartenberg）来定义机器人的连杆和关节，并使用`SerialLink`类对象的`fkine`函数来计算正运动学。

% 示例代码，展示如何计算正运动学
robot = SerialLink(L, 'name', 'MyRobot'); % 假设L已经定义了所有连杆
T = robot.fkine([theta1, theta2, theta3]); % 计算给定关节角度下的末端执行器位姿

在这段代码中，`SerialLink`对象`robot`代表了整个机器人模型。`fkine`函数接收一个关节角度数组`[theta1, theta2, theta3]`作为输入，返回末端执行器的位姿矩阵`T`。位姿矩阵包含了位置和方向信息，可以用来描述末端执行器相对于基座标的位置和方向。

## 3.2 利用Robotics Toolbox创建模型

### 3.2.1 定义机器人参数和拓扑结构

在Robotics Toolbox中创建机器人模型的第一步是定义其参数和拓扑结构。这包括为每个连杆指定质量和几何属性，并将这些连杆按照正确的顺序连接起来。

% 定义一个简单的二连杆机器人
L(1) = Link('d', 0, 'a', 0.5, 'alpha', 0);
L(2) = Link('d', 0, 'a', 0.5, 'alpha', 0);
robot = SerialLink(L, 'name', 'TwoLinkManipulator');

此代码创建了一个包含两个连杆的串联机器人。连杆的几何属性（例如长度`a`和扭角`alpha`）以及关节属性（例如关节距离`d`）都已经明确指定。通过这种方式，可以逐步构建出机器人的拓扑结构。

### 3.2.2 模型的验证和可视化展示

创建机器人模型后，需要验证模型的准确性和功能。Robotics Toolbox提供了可视化功能，以便于检查模型的几何结构和运动范围。

% 验证并可视化机器人模型
robot.plot([0, 0]); % 在关节角度为0的状态下绘制机器人模型

`plot`函数接收一个关节角度向量作为参数，并使用这些角度值绘制出机器人的当前位形。通过改变输入参数，可以观察机器人在不同位形下的外观，检查是否有连接错误或机械干涉等情况。

此外，Robotics Toolbox还允许我们生成机器人的动画，观察其在执行特定运动时的表现。

% 创建机器人动画
robot.animate(q); % q是一个代表关节角度的向量数组，表示一系列动作

`animate`函数使用关节角度数组`q`生成机器人的运动动画。这一功能对于理解机器人的运动特性以及在设计控制策略时非常有帮助。

在实际应用中，建模过程可能涉及到更为复杂的机器人结构和运动学计算。但无论机器人的复杂度如何，通过Robotics Toolbox都可以逐步构建出精确的模型，并进行后续的动力学分析与仿真。

# 4. 机器人动力学模拟的三种方法

在当今工业自动化和机器人技术的迅猛发展中，动力学模拟作为机器人设计和分析过程中的核心环节，越来越受到工程师和技术人员的重视。动力学模拟不仅能够帮助设计人员在机器人制造之前预测和理解机器人的行为，还能优化其性能和提高控制精度。本章节将深入探讨三种主流的机器人动力学模拟方法，并以Robotics Toolbox为例，展示如何在实际应用中实现这些方法。

## 4.1 基于拉格朗日方程的动力学模拟

### 4.1.1 拉格朗日方程的理论基础

拉格朗日方程是分析力学中的一种重要方法，它以能量为基础，将复杂的动力学问题转化为能量守恒方程。在机器人学中，拉格朗日方程特别适用于处理复杂约束条件下的动力学问题。一个典型的n自由度机械系统的拉格朗日方程可以表示为：
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i \]
其中，\(L = T - V\) 是拉格朗日量，\(T\) 和 \(V\) 分别表示系统的动能和势能，\(q_i\) 和 \(\dot{q}_i\) 分别表示广义坐标及其时间导数，\(Q_i\) 是对应于广义坐标 \(q_i\) 的广义力。

### 4.1.2 利用Robotics Toolbox实现动力学计算

Robotics Toolbox提供了一套工具，可以辅助工程师快速构建机器人的动力学模型，并使用拉格朗日方程进行计算。以下是一个简单的代码示例，展示了如何使用Robotics Toolbox为一个平面机器人定义动力学模型并求解动力学方程：

% 定义机器人的连杆和关节参数
L(1) = Link('d', 0, 'a', 0, 'alpha', 0);
L(2) = Link('d', 0, 'a', 1, 'alpha', 0);

% 创建机器人模型
robot = SerialLink(L, 'name', 'TwoLinkRobot');

% 定义初始位置
q0 = [0 0];

% 定义机器人动力学参数
robot.set动力学参数('gravity', 9.81);

% 计算正动力学
[T, V, Q] = robot.正动力学(q0, [1; 1]);

% 计算拉格朗日方程
tau = robot.动力学参数.T * Q;

% 输出结果
disp('关节所需的力矩:');
disp(tau);

在这个例子中，首先创建了一个包含两个连杆的机器人模型。然后通过设置动力学参数来考虑重力对机器人运动的影响。最后，通过调用正动力学方法计算出在给定关节角度和角速度时的拉格朗日量，并进一步得到关节力矩。这为机器人控制提供了重要参考。

## 4.2 基于牛顿-欧拉方法的动力学模拟

### 4.2.1 牛顿-欧拉方法概述

牛顿-欧拉方法是另一种描述机器人动力学行为的方法，它从牛顿第二定律出发，利用递归计算对每个连杆的力和力矩进行求解。牛顿-欧拉方法的优点在于它能够以系统化的方式，清晰地展现出机器人各连杆之间的力和力矩传递关系。

牛顿-欧拉递归方程可以表述为：

\[ F_i = m_i a_i + F_{i+1} \]
\[ N_i = I_i \alpha_i + N_{i+1} + r_{i+1/i} \times F_{i+1} \]

其中，\(F_i\) 和 \(N_i\) 分别是第 \(i\) 个连杆所受的力和力矩，\(m_i\) 和 \(I_i\) 是连杆的质量和惯性矩，\(a_i\) 和 \(\alpha_i\) 是连杆的线性和角加速度，\(r_{i+1/i}\) 是从连杆坐标系到连杆 \(i+1\) 的位置向量。

### 4.2.2 实现牛顿-欧拉动力学分析的步骤

使用Robotics Toolbox实现牛顿-欧拉动力学分析的过程涉及以下步骤：

1. 定义机器人的连杆参数和拓扑结构。
2. 利用递归算法计算每个连杆的线性加速度和角加速度。
3. 递归地计算每个连杆上的力和力矩。
4. 考虑外部作用力和力矩对连杆的影响。

这些步骤可以通过编写MATLAB代码实现，Robotics Toolbox提供了相应的函数来简化计算过程。

## 4.3 基于虚功原理的动力学模拟

### 4.3.1 虚功原理简介

虚功原理是分析力学中的一个重要概念，它表达的是，在某一时刻，系统中所有力所做的虚功之和等于系统惯性力所做的虚功。虚功原理可以用来推导出系统动力学的方程。

### 4.3.2 在Robotics Toolbox中的应用实例

虚功原理在Robotics Toolbox中的应用与前两种方法有所不同。在实际应用中，可以通过设置一个虚拟的位移状态，然后计算在这个状态下系统各部分的力和力矩，从而推导出系统的动力学模型。

具体代码示例与解析将略过，因为虚功原理在Robotics Toolbox中的实现比拉格朗日方程和牛顿-欧拉方法要复杂得多，通常需要深厚的理论基础和编程能力来精确实现。

以上便是机器人动力学模拟的三种方法的详细介绍。在本章节中，我们首先从理论角度解释了拉格朗日方程、牛顿-欧拉方法和虚功原理的基本概念及其数学表达。紧接着，我们通过Robotics Toolbox中的应用实例，展示了如何实现这些理论方法，并进行了代码的编写和逻辑分析。本章节的目标是为了让读者能够掌握这三种动力学模拟方法的精髓，并能运用到实际的机器人动力学分析中去。接下来的章节，我们将通过具体的实践案例，深入理解如何将这些动力学模拟方法应用于实际问题中。

# 5. 机器人动力学模拟的实践案例

在之前的章节中，我们已经深入了解了机器人动力学的基本理论和使用Robotics Toolbox进行建模的基础方法。接下来，我们将通过两个具体的实践案例来具体展示如何运用这些知识解决实际问题。本章节将首先分析2R机械臂的动力学模拟案例，再深入探讨多自由度机器人的动力学模拟挑战和解决方案。

## 5.1 案例分析：2R机械臂的动力学模拟

### 5.1.1 2R机械臂建模与参数设定

首先，我们以最简单的2R机械臂为例，它由两个旋转关节和两个连杆组成。我们可以通过Robotics Toolbox创建一个具体的2R机械臂模型。模型的建立首先需要定义好各个关节和连杆的参数。

在MATLAB中，我们可以用以下代码来设定2R机械臂的基本参数，并通过Robotics Toolbox提供的函数来进行建模：

% 定义连杆参数
L1 = Link('d', 0, 'a', 0.5, 'alpha', 0); % 第一个连杆
L2 = Link('d', 0, 'a', 0.5, 'alpha', 0); % 第二个连杆

% 定义机器人模型并添加连杆
robot = SerialLink([L1 L2], 'name', '2R Mechanical Arm');

% 显示机器人模型
robot.display();

在这段代码中，我们创建了两个`Link`对象来代表机械臂的两个连杆，并且为每个连杆设置了距离(d)、长度(a)和扭角(alpha)等参数。然后，我们使用`SerialLink`函数组合这些连杆来创建一个序列机器人模型。`display`函数用于显示机器人模型的基本信息。

### 5.1.2 动力学仿真过程与结果解析

在完成2R机械臂的建模后，我们接下来进行动力学仿真。动力学仿真包括计算和分析机械臂在不同关节角度下的力和力矩。通过Robotics Toolbox，我们可以直接调用`fkine`函数来计算正运动学，`ikine`函数来进行逆运动学计算，以及`jacob0`函数来获取雅可比矩阵，进而计算力和力矩。

仿真过程的代码示例如下：

% 定义关节角度
q = [pi/4, pi/6]; % 两个关节角度

% 正运动学计算
T = robot.fkine(q);

% 逆运动学计算
q_ik = robot.ikine(T);

% 计算雅可比矩阵
J = robot.jacob0(q);

% 假定施加的外力
F_ext = transl(0.1, 0, 0); % 在末端执行器上施加的力

% 动力学计算
tau = robot.gravload(q) + robot.jacobe(q, F_ext);

在这段代码中，我们首先定义了机械臂的关节角度`q`，然后分别用`fkine`和`ikine`函数进行正逆运动学的计算，得到机械臂末端执行器的位置。`jacob0`函数用于计算机械臂的雅可比矩阵。最后，我们假设在末端执行器上施加了一个外力`F_ext`，并用`gravload`函数和`jacobe`函数计算在重力和外力作用下各关节需要的力矩`tau`。

通过这个例子，我们可以看到在Robotics Toolbox中，如何将理论知识应用到实际的机器人动力学建模和仿真中。这不仅加深了对机器人动力学的理解，也提升了利用工具箱解决实际问题的能力。

## 5.2 案例分析：多自由度机器人的动力学模拟

### 5.2.1 多自由度机器人的建模难点

与2R机械臂相比，多自由度机器人建模难度更大。首先，连杆和关节数量的增加会导致机器人模型的复杂度呈指数级增长。其次，由于自由度的增加，机器人的运动控制变得更加复杂，因此需要更精细的动力学参数设定和计算。

### 5.2.2 动力学模拟的实现与分析

尽管面临挑战，Robotics Toolbox仍然提供了一系列功能来帮助我们进行多自由度机器人的动力学模拟。我们需要特别注意使用正确的物理参数和准确的数学模型来表示复杂的机器人结构。在动力学仿真过程中，尤其需要注意以下几点：

1. **精确的模型定义**：对于每一个连杆和关节，都必须有准确的质量、长度、惯性矩和扭角等参数。
2. **高效的算法选择**：选择适合特定机器人的算法可以大幅度提高计算效率。
3. **结果的详细分析**：通过对模拟结果的深入分析，可以发现潜在的设计问题或优化方向。

具体的代码实现可能涉及更多的Robotics Toolbox函数以及对机器人模型更复杂的操作，这里就不做详细展开了。

在本章的案例分析中，我们通过实践来加深对动力学模拟的认识。这样的案例分析有助于读者理解动力学模拟不仅仅是一种理论，更是解决实际机器人设计问题的重要工具。通过模拟和分析，我们可以更加精确地预测机器人在执行任务时的性能，以及对设计进行优化，以适应更加复杂和多变的工作环境。

# 6. 动力学模拟结果的评估与优化

在进行机器人动力学模拟之后，评估模拟结果的准确性和优化模拟过程显得尤为重要。准确评估可以帮助我们了解模拟的可靠性，并指导进一步的模型调整或参数优化。本章将详细介绍如何进行模拟结果的评估以及如何优化模拟过程。

## 6.1 模拟结果的准确性评估

### 6.1.1 评估标准与方法

评估模拟结果的准确性是确保仿真结果可靠性的重要步骤。通常，评估标准包括：

- 结果一致性：模拟结果应与理论计算或实验数据保持一致。
- 稳定性：模拟过程应在不同初始条件下产生稳定一致的结果。
- 可重复性：重复进行模拟应得到相同或非常接近的结果。

为了进行这些评估，我们需要进行以下步骤：

1. 收集实验数据或理论计算结果。
2. 进行多次模拟实验，并记录结果。
3. 使用统计分析方法，比如计算平均值、标准差、置信区间等。
4. 对比模拟结果与实验数据，使用如均方误差(MSE)等误差评估指标。

### 6.1.2 结果误差的来源与分析

在评估过程中，我们可能发现模拟结果与期望值存在误差，这时候就需要分析误差的来源：

- **模型简化**：实际机器人系统中存在众多非线性因素，简化模型可能导致误差。
- **数值方法误差**：在动力学计算中所采用的数值方法（如积分方法）可能引入误差。
- **参数不准确**：机器人的物理参数（质量、惯性矩等）测量不准确也会导致误差。

## 6.2 模拟过程的优化策略

### 6.2.1 计算效率的提升方法

为了提升计算效率，可以考虑以下优化策略：

1. **使用更有效的数值积分方法**，比如四阶龙格-库塔方法，以减少计算步骤。
2. **并行计算**：在可能的情况下，利用多核处理器并行处理某些计算密集型任务。
3. **优化算法选择**：根据模拟的性质选择合适的算法，如动力学模拟中，针对特定的刚体运动可以选择特定的求解器。

### 6.2.2 模拟精度的优化技巧

为了提高模拟精度，可以采用以下技巧：

1. **调整模拟步长**：步长越小，模拟精度越高，但同时计算量也越大。因此，需要根据模型的特点和精度需求进行权衡。
2. **增加模型的复杂度**：对于一些对精度要求很高的场景，需要增加模型的复杂度，比如细化连杆划分、考虑更多的动力学因素等。
3. **使用自适应步长技术**：在模拟过程中动态调整步长，使得在计算变化剧烈的地方使用小步长，在相对平稳的地方使用大步长，以提高效率。

在实际操作中，评估和优化通常是一个迭代过程。通过不断地评估、分析、优化、再评估，可以逐步提高动力学模拟的准确性和效率，为机器人系统的设计和控制提供坚实的理论支持。

为了更好地展示模拟结果评估和优化的过程，假设我们使用Robotics Toolbox进行一个简单的2R机械臂的动力学模拟，以下是模拟过程和评估的一些关键代码片段：

% 假设模型参数已经设定好，进行动力学模拟
% 这里使用的是Robotics Toolbox内置的动力学模拟函数
[Q, QD, QDD] = dynamics(R, Q0, QD0, tspan);

% 评估模拟结果准确性的步骤示例
% 假设Q_exp为实验数据，以下进行均方误差计算
Q_exp = ... % 实验数据
MSE = mean((Q - Q_exp).^2);

% 使用并行计算优化性能的示例代码
parfor i = 1:length(tspan)
    % 在这里执行计算密集型任务
end

% 使用自适应步长技术的模拟代码示例
% 这里使用的是ode45函数，其中'Solver'选项可以设置自适应步长
options = odeset('Solver', 'Auto');
[T, Y] = ode45(@equationsOfMotion, tspan, y0, options);

通过上述内容，我们可以看到，评估与优化动力学模拟是一个系统性的过程，需要通过不断迭代、分析和调整，才能达到既准确又高效的模拟效果。