MATLAB数据拟合中的非线性回归：应对复杂数据的挑战，精准建模

# 1.1 线性回归与非线性回归的区别

线性回归是一种统计建模技术，用于预测目标变量（因变量）与一个或多个自变量（自变量）之间的线性关系。线性回归假设自变量和因变量之间的关系是一条直线。

非线性回归是一种更通用的建模技术，用于预测自变量和因变量之间非线性关系。非线性回归模型可以捕捉自变量和因变量之间更复杂的关系，例如曲线、抛物线或指数关系。

# 2. 非线性回归模型

### 2.1 多项式回归

多项式回归是一种非线性回归模型，它将因变量建模为自变量的多项式函数。多项式函数的阶数决定了回归模型的非线性程度。

**模型方程：**

y = β0 + β1x + β2x^2 + ... + βnx^n

其中：

* y 是因变量
* x 是自变量
* β0, β1, ..., βn 是模型参数

**参数估计：**

多项式回归参数可以通过最小二乘法估计。最小二乘法目标函数为：

J(β) = Σ(y_i - y_i(β))^2

其中：

* y_i 是第 i 个观测值的真实值
* y_i(β) 是第 i 个观测值的模型预测值

**代码块：**

% 生成数据
x = linspace(-1, 1, 100);
y = x.^2 + 0.5 * x + 1 + 0.1 * randn(size(x));

% 拟合多项式回归模型
p = polyfit(x, y, 2);

% 绘制拟合曲线
figure;
plot(x, y, 'o');
hold on;
plot(x, polyval(p, x), 'r-');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('多项式回归拟合');
legend('数据', '拟合曲线');

**逻辑分析：**

* `linspace` 函数生成均匀分布的 x 值。
* `randn` 函数生成正态分布的随机噪声。
* `polyfit` 函数使用最小二乘法拟合多项式回归模型。
* `polyval` 函数计算给定 x 值的多项式函数值。
* 绘制数据点和拟合曲线。

### 2.2 指数回归

指数回归是一种非线性回归模型，它将因变量建模为自变量的指数函数。

**模型方程：**

y = β0 * exp(β1x)

其中：

* y 是因变量
* x 是自变量
* β0, β1 是模型参数

**参数估计：**

指数回归参数可以通过最小二乘法或最大似然估计估计。

**代码块：**

% 生成数据
x = linspace(0, 10, 100);
y = exp(0.5 * x) + 0.1 * randn(size(x));

% 拟合指数回归模型
f = fittype('exp(b * x)');
options = fitoptions('Method', 'NonlinearLeastSquares');
model = fit(x', y', f, options);

% 绘制拟合曲线
figure;
plot(x, y, 'o');
hold on;
plot(x, model(x), 'r-');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('指数回归拟合');
legend('数据', '拟合曲线');

**逻辑分析：**

* `fittype` 函数定义指数回归模型。
* `fitoptions` 函数设置拟合选项。
* `fit` 函数使用非线性最小二乘法拟合指数回归模型。
* 绘制数据点和拟合曲线。

### 2.3 对数回归

对数回归是一种非线性回归模型，它将因变量建模为自变量的线性函数的对数。

**模型方程：**

log(y) = β0 + β1x

其中：

* y 是因变量
* x 是自变量
* β0, β1 是模型参数

**参数估计：**

对数回归参数可以通过最小二乘法估计。

**代码块：**

% 生成数据
x = linspace(-1, 1, 100);
y = 1 ./ (1 + exp(-(0.5 * x + 1))) + 0.1 * randn(size(x));

% 拟合对数回归模型
f = fittype('1 / (1 + exp(-(b0 + b1 * x)))');
options = fitoptions('Method', 'NonlinearLeastSquares');
model = fit(x', y', f, options);

% 绘制拟合曲线
figure;
plot(x, y, 'o');
hold on;
plot(x, model(x), 'r-');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('对数回归拟合');
legend('数据', '拟合曲线');

**逻辑分析：**

* `fittype` 函数定义对数回归模型。
* `fitoptions` 函数设置拟合选项。
* `fit` 函数使用非线性最小二乘法拟合对数回归模型。
* 绘制数据点和拟合曲线。

# 3.1 最小二乘法

最小二乘法是一种经典的非线性回归算法，其目标是找到一组模型参数，使模型预测值与观测值之间的残差平方和最小。

**算法步骤：**

1. **初始化模型参数：**给定一组初始参数值。
2. **计算残差：**对于每个观测点，计算模型预测值与观测值之间的差值。
3. **计算梯度：**计算残差平方和相对于模型参数的梯度。
4. **更新参数：**使用梯度下降法或其他优化算法更新模型参数，以减小残差平方和。
5. **重复步骤 2-4：**直到参数变化小于某个阈值或达到最大迭代次数。

**参数说