【跳表：快速搜索指南】：多层次索引技巧助你高效检索

# 1. 跳表简介与原理

## 1.1 跳表的定义
跳表（Skip List）是一种可以用来替代平衡树的数据结构，它在插入、删除、搜索等操作上，有着与平衡树相似的效率，同时实现起来更为简单。它是链表的一种扩展，通过多层索引来提高查询效率，从而实现了在链表上的二分查找。

## 1.2 跳表的工作原理
跳表通过增加节点的前向指针层级来减少搜索时的比较次数。当插入一个新元素时，会随机决定它的层级；搜索时从最高层开始，若当前节点值大于目标值，则下移至下一层的前驱节点，从而加快搜索速度。

## 1.3 跳表的特点
相较于链表，跳表的平均查找时间复杂度降低至O(logn)，插入和删除操作仍然保持O(logn)的时间复杂度，同时跳表的数据结构也保证了极高的并发性能。这些特点让跳表在许多需要快速读写的场景下具备优势。

# 2. 跳表的基本操作

### 2.1 跳表的插入算法

#### 2.1.1 单节点插入的逻辑

插入操作是跳表中最基础的操作之一，它的主要目的是在保持跳表有序的前提下，将一个新节点添加到跳表中。单节点插入的算法通常遵循以下步骤：

1. **查找插入位置**：从跳表的最高层开始，自顶向下逐层查找新节点应该插入的位置。具体来说，比较节点值与目标位置的节点值，若大于目标节点值则向右移动，若小于则向下一层移动，直到找到应该插入的位置。

2. **创建新节点**：一旦确定了插入位置，创建新节点，其层数取决于跳表当前的层数或随机生成。

3. **插入操作**：将新节点插入到找到的位置，并调整指针，使得新节点能够链接上层和下层的相应节点。

下面是一个单节点插入操作的代码示例：

class Node:
    def __init__(self, value, level):
        self.value = value
        self.next = [None] * (level + 1)

class SkipList:
    def __init__(self, max_level, p):
        self.max_level = max_level
        self.p = p
        self.header = Node(-1, self.max_level)  # 虚拟头节点
        self.level = 0

    def insert(self, value):
        update = [None] * (self.max_level + 1)  # 记录每一层的前驱节点
        current = self.header
        for i in range(self.level, -1, -1):
            while current.next[i] and current.next[i].value < value:
                current = current.next[i]
            update[i] = current
        current = current.next[0]

        # 如果值已存在，则不进行插入
        if current is None or current.value != value:
            r = random.randint(1, self.max_level)
            if r > self.level:  # 新节点层数高于当前跳表最大层数
                for i in range(self.level + 1, r + 1):
                    update[i] = self.header
                self.level = r

            new_node = Node(value, r)
            for i in range(r + 1):
                new_node.next[i] = update[i].next[i]
                update[i].next[i] = new_node

在上述代码中，我们首先定义了节点类`Node`和跳表类`SkipList`。插入函数`insert`会遍历跳表的每一层，找到合适的插入位置，并在适当的时候调整跳表的最大层数。通过`update`数组记录每一层的前驱节点，以便后续链接新插入的节点。

#### 2.1.2 多节点插入与层高确定

在实际应用中，插入多个节点是常见的情况。为了提高插入效率，可以通过批量插入多个节点，同时根据跳表当前的层数和节点的值决定每个新节点的层数。节点层数的确定通常通过概率函数（如跳表中常用的p=1/2）来决定，这样可以平衡查找和插入的效率。

多节点插入通常按照以下步骤进行：

1. **确定层高**：对于每个新节点，通过概率函数随机生成一个层数。

2. **按层插入**：根据每个节点的层数，分别将节点插入到对应的层上。如果节点的层数大于当前跳表的最大层数，则在插入过程中同时更新跳表的最大层数。

3. **处理连续值**：对于具有连续值的节点，需要额外注意是否有必要为每个节点分配不同的层数。有时，连续值的节点可以共享某些层的指针，从而节省空间。

下面是一个多节点插入的示例代码：

def batch_insert(self, values):
    nodes = [Node(value, self._random_level()) for value in values]
    update = [[None] * (self.max_level + 1) for _ in values]  # 记录每一层的前驱节点
    current = self.header
    for i in range(self.level, -1, -1):
        for j in range(len(values)):
            while current.next[i] and current.next[i].value < values[j]:
                current = current.next[i]
            update[j][i] = current
        current = current.next[0]

    for j in range(len(values)):
        node = nodes[j]
        current = update[j][0]
        if current.next[0] is None or current.next[0].value != node.value:
            r = node.level
            if r > self.level:
                for i in range(self.level + 1, r + 1):
                    update[j][i] = self.header
                self.level = r
            current = current.next[0]
            for i in range(r + 1):
                node.next[i] = update[j][i].next[i]
                update[j][i].next[i] = node

在此函数中，我们创建了一个值列表`values`所对应的节点列表`nodes`，并为每个节点生成随机层数。`update`数组记录了每个节点每一层的前驱节点。遍历跳表每一层时，分别将节点插入到对应层上。

### 2.2 跳表的搜索机制

#### 2.2.1 搜索过程详解

跳表的搜索机制是其能够快速查找数据的关键。搜索操作从跳表的最高层开始，利用节点之间的指针进行快速定位，当遇到的节点值大于目标值时，则下降到下一层继续搜索。这个过程一直进行，直到找到目标节点或者确定目标节点不存在为止。

搜索算法的具体步骤如下：

1. **起始位置**：从跳表的最高层开始，从最左侧的节点出发。

2. **层间移动**：比较当前节点值与目标值的大小，如果当前节点值小于目标值，则向右移动；如果大于目标值，则向下移动到下一层。

3. **查找到达点**：重复上述过程，直到当前节点值等于目标值，或者到达最低层且当前节点值仍小于目标值，这时可以确定目标值不存在。

下面是一个搜索函数的示例代码：

def search(self, value):
    current = self.header
    for i in range(self.level, -1, -1):
        while current.next[i] and current.next[i].value < value:
            current = current.next[i]
    if current.next[0] and current.next[0].value == value:
        return current.next[0]  #