离散线性移不变系统的单位抽样响应与单位阶跃响应

# 1. 简介

## 1.1 离散线性移不变系统的定义

离散线性移不变系统是指在离散时间下运行的系统，它满足线性性质和平移不变性质。线性性质表示系统的输出与输入之间存在一种简单的线性关系，平移不变性质表示系统对于延时输入的处理与输入信号的位置无关。

## 1.2 单位抽样响应和单位阶跃响应的概念

单位抽样响应和单位阶跃响应是描述离散线性移不变系统特性的重要概念。单位抽样响应是指当输入信号为单位抽样信号（即在离散时间t=0处取值为1，其他时刻取值为0）时，系统的输出响应。单位阶跃响应是指当输入信号为单位阶跃信号（即在离散时间t>=0后的取值全为1，t<0时取值为0）时，系统的输出响应。

这两种响应函数对于研究系统的特性、设计滤波器等具有重要意义。在接下来的章节中，我们将详细介绍单位抽样响应和单位阶跃响应的定义、性质以及它们之间的关系，并探讨它们在离散线性移不变系统中的应用。

接下来，我们将详细介绍单位抽样响应。

# 2. 单位抽样响应

在离散线性移不变系统中，单位抽样响应是一种重要的系统响应类型，它描述了系统对单位抽样信号的响应特性。本节将介绍单位抽样响应的定义、计算方法和性质。

#### 2.1 单位抽样信号的定义

在离散时间下，单位抽样信号可以表示为：

\delta(n) =
\begin{cases}
1, & n=0 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}

其中，$n$为整数时间变量。单位抽样信号在离散时间下的幅度在$n=0$时为1，其它时刻为0。它是离散时间下的特殊信号，对系统的响应具有重要意义。

#### 2.2 离散线性移不变系统对单位抽样信号的响应

假设离散线性移不变系统的输入为单位抽样信号$\delta(n)$，那么系统对该输入的响应即为单位抽样响应$h(n)$。单位抽样响应描述了系统对单位抽样信号的处理效果，通常通过卷积运算进行计算。

对于离散时间下的系统，其单位抽样响应满足以下关系式：

y(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) \cdot x(n-k)

其中，$y(n)$表示系统的输出，$x(n)$表示系统的输入，$h(n)$为单位抽样响应。

#### 2.3 单位抽样响应的性质

单位抽样响应具有以下几个重要的性质：
- 线性性质：系统对线性组合的输入信号的响应等于这些输入信号分别施加于系统后得到的响应的线性组合。
- 时不变性：系统对延迟的输入信号的响应等于延迟后的响应。
- 因果性：单位抽样响应是因果系统的特征之一，即在时刻$n<0$时，响应为0。

以上是单位抽样响应的基本概念和性质，下一节将介绍离散系统对单位阶跃信号的响应。

# 3. 单位阶跃响应

### 3.1 单位阶跃信号的定义

单位阶跃信号是一种特殊的离散信号，其定义如下：

import numpy as np

def unit_step(n):
    """
    生成单位阶跃信号（升序）
    """
    return np.where(n >= 0, 1, 0)

其中，n为时间点，返回的信号值为1 if n >= 0 else 0。

### 3.2 离散线性移不变系统对单位阶跃信号的响应

离散线性移不变系统对单位阶跃信号的响应可以用以下差分方程来表示：

import numpy as np

def discrete_linear_system(y, x):
    """
    离散线性移不变系统
    """
    # 差分方程表达式