MATLAB散点图回归分析：建立数据之间的关联关系

# 1. 散点图和回归分析简介**

散点图是将两个变量的数据点绘制在笛卡尔坐标系上的图表，用于可视化两个变量之间的关系。回归分析是一种统计技术，用于建立两个或多个变量之间的数学模型，从而量化它们之间的关系。

散点图回归分析结合了散点图和回归分析，通过绘制散点图并拟合回归线来探索和量化变量之间的关系。回归线表示变量之间的最佳拟合模型，可以预测一个变量基于另一个变量的值。

# 2. MATLAB中散点图的绘制

### 2.1 创建散点图

在MATLAB中创建散点图非常简单，只需要使用`scatter`函数即可。该函数需要两个参数：自变量和因变量。自变量是影响因变量的值，而因变量是受自变量影响的值。

% 创建散点图
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2, 4, 6, 8, 10];
scatter(x, y);

### 2.2 自变量和因变量

在散点图中，自变量通常绘制在x轴上，而因变量绘制在y轴上。这可以帮助我们直观地看到自变量和因变量之间的关系。

### 2.3 散点图的属性设置

创建散点图后，我们可以使用各种属性来对其进行自定义。这些属性包括：

- `MarkerSize`：设置数据点的标记大小。
- `MarkerFaceColor`：设置数据点的填充颜色。
- `MarkerEdgeColor`：设置数据点的边框颜色。
- `LineWidth`：设置线条的宽度。
- `LineStyle`：设置线条的样式（如实线、虚线、点划线）。

% 设置散点图属性
scatter(x, y, 100, 'r', 'filled');

以上代码将创建一个散点图，其中数据点的标记大小为100，填充为红色，且没有边框。

**代码逻辑逐行解读：**

% 创建散点图
x = [1, 2, 3, 4, 5];  % 自变量
y = [2, 4, 6, 8, 10]; % 因变量
scatter(x, y);        % 创建散点图

1. 创建两个向量`x`和`y`，分别表示自变量和因变量。
2. 使用`scatter`函数创建散点图，其中`x`和`y`作为参数。

% 设置散点图属性
scatter(x, y, 100, 'r', 'filled');

1. 使用`scatter`函数的第四个参数设置数据点的标记大小为100。
2. 使用`scatter`函数的第五个参数设置数据点的填充颜色为红色。
3. 使用`scatter`函数的第六个参数设置数据点的边框颜色为无。

# 3.1 线性回归

#### 3.1.1 线性回归模型

线性回归模型是一种统计模型，用于描述自变量和因变量之间的线性关系。其基本形式为：

y = β0 + β1x + ε

其中：

* y 是因变量
* x 是自变量
* β0 是截距
* β1 是斜率
* ε 是误差项

#### 3.1.2 回归系数的估计

线性回归系数β0和β1可以通过最小二乘法进行估计。最小二乘法是一种优化方法，其目标是找到使误差平方和最小的回归线。

最小二乘法估计的回归系数为：

β1 = (Σ(xi - x̄)(yi - ȳ)) / Σ(xi - x̄)^2
β0 = ȳ - β1x̄

其中：

* x̄ 和 ȳ 分别是自变量和因变量的平均值
* Σ 表示求和

**代码块：**

% 给定数据
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2, 4, 5, 4, 5];

% 计算回归系数
b1 = (sum((x - mean(x)) .* (y - mean(y))) / sum((x - mean(x)).^2));
b0 = mean(y) - b1 * mean(x);

% 打印回归系数
fprintf('截距 (β0): %.2f\n', b0);
fprintf('斜率 (β1): %.2f\n', b1);

**逻辑分析：**

该代码段使用最小二乘法估计线性回归模型的回归系数。它首先计算自变量和因变量的平均值，然后使用公式计算斜率和截距。最后，它打印出估计的回归系数。

**参数说明：**

* `x`：自变量数据
* `y`：因变量数据
* `b1`：估计的斜率
* `b0`：估计的截距

# 4. 散点图回归分析的实践应用

在本章中，我们将通过实际应用来演示散点图回归分析的强大功能。我们将探索医疗数据和金融数据中的示例，展示如何使用 MATLAB 进行回归分析来揭示数据之间的关联关系。

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