11. 大学物理——机械振动、波和波动光学：阻尼振动

# 1. 介绍

## 1.1 物理中的机械振动和波

在物理学中，机械振动和波是常见的现象。机械振动是指物体围绕其平衡位置进行周期性的往复运动，而波是能量在空间中传播的一种方式。

机械振动可以通过弹簧振子的模型来进行描述。弹簧振子由一个质点和与之相连接的弹簧构成，当质点受到外力作用时，弹簧会发生形变，并产生恢复力使质点回到平衡位置，从而导致质点发生振动。

波是一种能够传播能量而不传播物质的现象。在机械波中，波动传播的媒介是物质，例如水波、声波等。而电磁波是一种在真空中传播的波动，例如光波、无线电波等。

## 1.2 阻尼振动的概念及重要性

阻尼振动是指在振动过程中，存在一种阻力使振动系统的能量逐渐耗散，振幅逐渐减小的现象。阻尼振动在实际生活和工程中具有重要意义。

在机械系统中，阻尼是不可避免的。阻尼可以减小振动的幅度，使系统更加稳定，减少系统的破坏和能量损耗。

在波动光学领域，阻尼振动的概念和特性被广泛应用。阻尼振动可以影响光的传播、干涉、衍射等现象，从而对光的特性和性能进行调节和优化。因此，深入研究阻尼振动对于理解光的行为和应用光学原理具有重要意义。

# 2. 机械振动理论

机械振动是物体在受到初始力作用后，围绕平衡位置做往复运动的现象。理解机械振动的理论可以帮助我们解释和预测许多现象，并在工程设计和其他领域中得到应用。

### 2.1 弹簧振子的模型

弹簧振子是机械振动的最简单模型之一。它由一个质点和一个弹簧组成。当质点受到外力作用时，弹簧会产生与质点位移成正比的恢复力，并且方向与质点位移方向相反。弹簧振子的运动方程可以表示为：

$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = F_{\text{ext}}$$

其中，$m$ 是质点的质量，$x$ 是质点的位移，$k$ 是弹簧的弹性系数，$F_{\text{ext}}$ 是外力。解析求解这个方程可以得到振子的运动规律。

### 2.2 自由振动和强迫振动

根据是否有外力作用，机械振动可以分为自由振动和强迫振动两种模式。

自由振动是指在没有外力作用的情况下，振动系统内部的能量交换导致的振动。在没有摩擦和阻力的情况下，自由振动是一个保持能量守恒的过程。弹簧振子就是一个典型的自由振动系统。

强迫振动是指在外力的驱动下，振动系统产生的一种响应。外力的频率和振动系统的固有频率相等或接近时，会发生共振现象，使振幅增大。

### 2.3 振动的频率和周期

振动的频率和周期是描述振动的重要参数。

振动的频率指的是单位时间内振动的次数，用赫兹（Hz）表示。频率和周期的关系为 $f=\frac{1}{T}$，其中 $T$ 表示振动的周期，即一次完整振动所需要的时间。

振动的频率和周期与振动系统的质量、刚度和阻尼有关。对于弹簧振子而言，频率的计算公式为 $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$，其中 $k$ 是弹簧的弹性系数，$m$ 是质点的质量。可以通过调整这些参数来改变振动的频率和周期。

在理解了机械振动的基本理论之后，我们将更深入地研究阻尼振动的特性。阻尼振动在实际应用中具有重要的意义，如减震器的设计和振动的能量损耗分析等。

# 3. 阻尼振动的特性

阻尼振动是指系统在存在阻力的情况下进行的振动。在机械振动中，阻尼作用会导致振动幅度的衰减和振动频率的改变，从而影响系统的动态特性和稳定性。本章将介绍阻尼振动的一些重要特性。

#### 3.1 阻尼系数的定义和计算

阻尼振动的特性与阻尼系数密切相关。阻尼系数是指单位质量的物体在单位时间内所受到的阻力。在实际应用中，通常使用阻尼比来表示阻尼程度，即阻尼系数与临界阻尼系数的比值。

阻尼比的计算方法如下：

def calculate_damping_ratio(damping_coefficient, critical_damping_coefficient):
    damping_ratio = damping_coefficient / critical_damping_coefficient
    return damping_ratio

# 示例：计算阻尼比
damping_coefficient = 10  # 阻尼系数
critical_damping_coefficient = 15  # 临界阻尼系数