19. 大学物理——机械振动、波和波动光学：多普勒效应

# 1. 引言

## 1.1 研究背景

研究背景的内容...

## 1.2 研究目的

研究目的的内容...

# 2. 机械振动基础

### 2.1 机械振动的定义和特性

机械振动是物体在受到外力作用下，由于弹簧、质点、刚体等弹性体的内部势能和动能的交换而发生的周期性运动。机械振动具有以下几个特性：

- **周期性**：机械振动是一种周期性的运动，即物体在一定时间内重复相同的运动状态。

- **固有频率**：每个振动体都有其固有频率，也称为自由频率。该频率是振动体在无外界力作用下，自由振动的频率，只取决于振动体的质量和弹性系数。

- **共振**：当外界力的频率接近振动体的固有频率时，振动体会发生共振现象，振幅大幅增加，造成振动体可能因能量过大而损坏。

### 2.2 单自由度振动系统

单自由度振动系统由一个质点和与之相连的弹簧组成。在系统受到外力作用下，质点会围绕平衡位置发生振动。此时，可以用一个一阶常微分方程来描述该振动系统的运动。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def single_dof_vibration(m, k, c, F, t):
    # 定义方程 d²x/dt² + (c/m) * dx/dt + (k/m) * x = F(t)/m
    def equations(x, t):
        return [x[1], (1/m) * (F(t) - c * x[1] - k * x[0])]

    t_span = [t[0], t[-1]]  # 时间范围
    x_init = [0, 0]  # 初始条件（位移和速度）

    # 数值求解微分方程
    x = np.asarray(scipy.integrate.odeint(equations, x_init, t))

    return x[:, 0]  # 返回位移值

m = 1  # 质量
k = 10  # 弹性系数
c = 0.5  # 阻尼系数
F = lambda t: np.sin(2 * np.pi * t)  # 外力函数
t = np.linspace(0, 10, 1000)  # 时间范围

x = single_dof_vibration(m, k, c, F, t)

# 绘制位移随时间变化的图像
plt.plot(t, x)
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Displacement')
plt.title('Single Degree of Freedom Vibration')
plt.show()

该代码使用了SciPy库中的odeint函数，通过数值计算来求解微分方程。在代码中，定义了一个单自由度振动系统的模型，然后给定了质量m、弹性系数k、阻尼系数c和外力函数F。最后，使用matplotlib库绘制了位移随时间变化的图像。

### 2.3 多自由度振动系统

多自由度振动系统由多个质点和与之相连的弹簧组成。每个质点可以沿不同的方向运动。多自由度振动系统的数学描述需要使用多个常微分方程。

public class MultiDofVibration {
    public static void main(String[] args) {

        double[] m = {1, 2};  // 质量
        double[] k = {10, 20};  // 弹性系数
        double[][] c = {{0, 0}, {0, 0}};  // 阻尼矩阵
        double[] F = {0, 0};  // 外力向量

        int n = m.length;  // 自由度数目
        int t_steps = 1000;  // 时间步数
        double dt = 0.01;  // 时间步长

        // 初始化状态向量，位置和速度
        double[][] x = new double[n][2];
        x[0][0] = 0;