MATLAB预测模型中的支持向量机：揭示分类和回归的原理

# 1. 支持向量机概述

支持向量机（SVM）是一种强大的机器学习算法，用于解决分类和回归问题。其基本思想是将数据映射到一个高维特征空间，并在该空间中找到一个最大化分类间隔的超平面。SVM在处理高维数据和非线性问题方面表现出色。

SVM的优点包括：

- **高分类精度：**SVM通过最大化分类间隔来获得高分类精度。
- **泛化能力强：**SVM通过正则化项控制模型的复杂度，从而提高泛化能力。
- **鲁棒性：**SVM对噪声和异常值具有鲁棒性，这使其在现实世界数据中表现良好。

# 2. 支持向量机分类原理

### 2.1 线性可分支持向量机

线性可分支持向量机适用于线性可分的数据集，即数据点可以被一条直线完全分开。其原理如下：

1. **寻找最大间隔超平面：**在所有可能的超平面中，找到使两类数据点之间的间隔最大的超平面。间隔是指超平面到最近的数据点的距离。
2. **支持向量：**间隔最大的超平面上的数据点称为支持向量。它们决定了超平面的位置。
3. **决策边界：**超平面将数据点分为两类。超平面的一侧是正类，另一侧是负类。

**代码块 1：线性可分支持向量机**

import numpy as np
from sklearn.svm import SVC

# 数据集
X = np.array([[0, 0], [1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4]])
y = np.array([0, 0, 0, 1, 1])

# 训练模型
model = SVC(kernel='linear')
model.fit(X, y)

# 决策边界
w = model.coef_[0]
b = model.intercept_
decision_boundary = -w[0]/w[1] * X[:, 0] + b

**代码逻辑分析：**

* `SVC(kernel='linear')`：创建一个线性核的 SVM 分类器。
* `fit(X, y)`：使用训练数据训练模型。
* `coef_`：模型权重，表示超平面的法向量。
* `intercept_`：模型偏置，表示超平面的截距。
* `decision_boundary`：计算决策边界，它是一条直线。

### 2.2 非线性可分支持向量机

对于非线性可分的数据集，需要将数据映射到更高维度的空间，使其在该空间中线性可分。这可以通过使用核函数来实现。

#### 2.2.1 核函数

核函数是一种将低维数据映射到高维空间的函数。常用的核函数有：

* 线性核：`K(x, y) = x^T y`
* 多项式核：`K(x, y) = (x^T y + c)^d`
* RBF 核：`K(x, y) = exp(-γ ||x - y||^2)`

**代码块 2：非线性可分支持向量机**

# 数据集
X = np.array([[0, 0], [1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4], [1, 2], [2, 1]])
y = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1, 1])

# 训练模型
model = SVC(kernel='rbf', gamma=0.1)
model.fit(X, y)

# 决策边界
decision_boundary = model.decision_function(X)

**代码逻辑分析：**

* `SVC(kernel='rbf', gamma=0.1)`：创建一个 RBF 核的 SVM 分类器，`gamma` 参数控制核函数的宽度。
* `decision_function`：计算决策函数，它是一个标量函数，表示数据点到决策边界的距离。

#### 2.2.2 核函数的选择

核函数的选择取决于数据集的特性和分类任务的复杂度。常用的准则是：

* **线性核：**适用于线性可分的数据集。
* **多项式核：**适用于具有较高次多项式关系的数据集。
* **RBF 核：**适用于具有任意形状决策边界的复杂数据集。

**表格 1：核函数比较**

| 核函数 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|
| 线性 | 计算简单 | 只能处理线性可分数据集 |
| 多项式 | 可以处理非线性数据集 | 容易过拟合 |
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