MATLAB曲线插值：预测未知点，拓展数据范围

# 1. MATLAB曲线插值概述**

曲线插值是一种近似技术，它通过已知数据点创建平滑曲线。在MATLAB中，曲线插值用于各种应用，包括数据可视化、预测和数据处理。

曲线插值算法根据已知数据点计算出新点的值。MATLAB提供了一系列曲线插值函数，包括线性插值、多项式插值和样条插值。这些函数允许用户指定插值方法、数据点和插值点。

# 2. 曲线插值理论基础

### 2.1 线性插值

线性插值是最简单的插值方法，它假定相邻数据点之间的函数值变化是线性的。给定一组数据点 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$，其中 $x_0 < x_1 < \dots < x_n$，线性插值在区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 内的插值函数为：

f(x) = y_i + (x - x_i) * (y_{i+1} - y_i) / (x_{i+1} - x_i)

**代码块：**

% 给定数据点
x = [0, 1, 2, 3];
y = [0, 1, 4, 9];

% 在 [1.5, 2.5] 区间内进行线性插值
xi = 1.5:0.1:2.5;
yi = interp1(x, y, xi, 'linear');

% 绘制插值曲线
plot(x, y, 'o', xi, yi, '-');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('数据点', '插值曲线');

**逻辑分析：**

* `interp1` 函数用于进行线性插值，其参数分别为：数据点横坐标 `x`、数据点纵坐标 `y`、插值点横坐标 `xi`、插值方法 `'linear'`。
* `plot` 函数用于绘制插值曲线，其中 `'o'` 表示数据点，`'-'` 表示插值曲线。
* `xlabel` 和 `ylabel` 函数用于设置坐标轴标签。
* `legend` 函数用于添加图例。

### 2.2 多项式插值

多项式插值假定相邻数据点之间的函数值变化可以用多项式近似。给定一组数据点 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$，其中 $x_0 < x_1 < \dots < x_n$，$n$ 次多项式插值函数为：

f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + \dots + a_n(x - x_0)(x - x_1) \dots (x - x_{n-1})

其中，$a_0, a_1, \dots, a_n$ 为多项式系数。

**代码块：**

% 给定数据点
x = [0, 1, 2, 3];
y = [0, 1, 4, 9];

% 在 [1.5, 2.5] 区间内进行 3 次多项式插值
xi = 1.5:0.1:2.5;
yi = interp1(x, y, xi, 'spline');

% 绘制插值曲线
plot(x, y, 'o', xi, yi, '-');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('数据点', '插值曲线');

**逻辑分析：**

* `interp1` 函数用于进行多项式插值，其参数与线性插值相同，但插值方法改为 `'spline'`。
* `spline` 方法使用分段三次样条插值，它在相邻数据点之间生成平滑的曲线。

### 2.3 样条插值

样条插值是一种分段多项式插值方法，它在相邻数据点之间生成平滑的曲线，同时保证插值函数在整个区间内连续可导。样条插值函数由多个分段多项式组成，每个分段多项式在自己的区间内有效。

**代码块：**

% 给定数据点
x = [0, 1, 2, 3];
y = [0, 1, 4, 9];

% 在 [1.5, 2.5] 区间内进行样条插值
xi = 1.5:0.1:2.5;
yi = interp1(x, y, xi, 'spline');

% 绘制插值曲线
plot(x, y, 'o', xi, yi, '-');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('数据点', '插值曲线');

**逻辑分析：**

* `interp1` 函数用于进行样条插