MATLAB曲线平滑：消除毛刺，呈现流畅曲线

# 1. 曲线平滑概述**

曲线平滑是一种数据处理技术，用于去除数据中的噪声和异常值，以揭示数据的潜在趋势和模式。它广泛应用于信号处理、图像处理、数据分析等领域。

曲线平滑算法通过对原始数据进行加权平均或拟合来实现。加权平均算法，如移动平均法，简单易用，但可能会引入滞后效应。Savitzky-Golay滤波器是一种基于多项式拟合的算法，可以有效地平滑数据，同时保留关键特征。

# 2. 理论基础

### 2.1 曲线平滑算法

曲线平滑算法旨在通过减少噪声和保留信号的特征来增强数据的可读性和可解释性。以下是三种常用的曲线平滑算法：

#### 2.1.1 移动平均法

移动平均法是一种简单而有效的平滑算法，它通过计算相邻数据点的平均值来平滑曲线。其公式如下：

y_smoothed = (1/n) * sum(y(i-n/2:i+n/2))

其中：

* `y` 是原始数据
* `y_smoothed` 是平滑后的数据
* `n` 是移动窗口的大小

**参数说明：**

* `n`：移动窗口的大小。较大的窗口会产生更平滑的曲线，但可能会丢失细节。

**代码逻辑：**

移动平均法通过一个滑动窗口遍历数据，计算每个窗口内数据点的平均值。平均值替换窗口中心的数据点，从而平滑曲线。

#### 2.1.2 Savitzky-Golay滤波器

Savitzky-Golay滤波器是一种基于多项式拟合的平滑算法。它通过拟合一个多项式到相邻数据点，然后计算多项式在数据点处的导数来平滑曲线。其公式如下：

y_smoothed = sgolayfilt(y, order, framelen)

其中：

* `y` 是原始数据
* `y_smoothed` 是平滑后的数据
* `order` 是多项式的阶数
* `framelen` 是滤波器窗口的大小

**参数说明：**

* `order`：多项式的阶数。较高的阶数会产生更平滑的曲线，但可能会引入伪影。
* `framelen`：滤波器窗口的大小。较大的窗口会产生更平滑的曲线，但可能会丢失细节。

**代码逻辑：**

Savitzky-Golay滤波器通过一个滑动窗口遍历数据，在每个窗口内拟合一个多项式。然后，它计算多项式在数据点处的导数，并使用导数来平滑曲线。

#### 2.1.3 局部加权回归

局部加权回归是一种非参数平滑算法，它通过对相邻数据点进行加权平均来平滑曲线。其公式如下：

y_smoothed = lowess(y, span)

其中：

* `y` 是原始数据
* `y_smoothed` 是平滑后的数据
* `span` 是加权窗口的大小

**参数说明：**

* `span`：加权窗口的大小。较大的窗口会产生更平滑的曲线，但可能会丢失细节。

**代码逻辑：**

局部加权回归通过一个滑动窗口遍历数据，在每个窗口内对数据点进行加权平均。权重根据数据点与窗口中心之间的距离来确定，距离较近的数据点具有较大的权重。

# 3. MATLAB实现**

### 3.1 内置函数

MATLAB 提供了多种内置函数用于曲线平滑，其中最常用的两个函数是 `smooth` 和 `sgolayfilt`。

#### 3.1.1 smooth

`smooth` 函数使用移动平均法对数据进行平滑。其语法为：

y = smooth(x, span)

其中：

* `x` 是要平滑的数据序列。
* `span` 指定移动窗口的大小，其值为奇数。

**代码块：**

% 生成原始数据
x = randn(100, 1);

% 使用 span = 5 的移动平均法平滑数据
y = smooth(x, 5);

% 绘制原始数据和平滑后的数据
plot(x, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(y, 'r', 'LineWidth', 1.5);
legend('原始数据', '平滑后数据');

**逻辑分析：**

* `randn(100, 1)` 生成一个 100 行 1 列的正态分布随机数据序列。
* `smooth(x, 5)` 使用移动平均法对 `x` 进行平滑，移动窗口大小为 5。
* `plot` 函数绘制原始数据和平滑后的数据。

#### 3.1.2 sgolayfilt

`sgolayfilt` 函数使用 Savitzky-Golay 滤波器对数据进行平滑。其语法为：

y = sgolayfilt(x, order, framelen)

其中：

* `x` 是要平滑的数据序列。
* `order` 指定滤波器的阶数，其值为奇数。
* `framelen` 指定滤波器窗口的大小，其值为奇数且大于 `order`。

**代码块：**

% 使用 order = 3 和 framelen = 7 的 Savitzky-Golay 滤波器平滑数据
y = sgolayfilt(x, 3, 7);

% 绘制原始数据和平滑后的数据
plot(x, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(y, 'r', 'LineWidth', 1.5);
legend('原始数据', '平滑后数据');

**逻辑分析：**

* `sgolayfilt(x, 3, 7)` 使用 Savitzky-Golay 滤波器对 `x` 进行平滑，滤波器阶数为 3，窗口大小为 7。
* `plot` 函数绘制原始数据和平滑后的数据。

### 3.2 自实现算法

除了内置函数，MATLAB 还允许用户自实现曲线平滑算法。以下介绍两种常用的自实现算法：移动平均和 Savitzky-Golay 滤波器。

#### 3.2.1 移动平均

移动平均算法通过计算数据序列中特定窗口内的平均值来进行平滑。其伪代码如下：

for i = 1 to n
    y[i] = (x[i] + x[i+1] + ...