z轴与旋转：理解3D建模中的物体动态

# 1. 3D建模中的坐标系和旋转**

**1.1 笛卡尔坐标系和欧拉角**

笛卡尔坐标系是3D空间中描述位置和方向的常用方法。它由三个相互垂直的轴（x、y、z）组成，每个轴代表一个空间维度。欧拉角是描述物体旋转的另一种方法，它使用三个角度（偏航角、俯仰角和滚转角）来表示物体相对于其原始方向的旋转。

**1.2 旋转矩阵和四元数**

旋转矩阵是一个3x3矩阵，它可以表示物体相对于其原始方向的旋转。四元数是一种四维向量，它也可以表示旋转。四元数比旋转矩阵更紧凑，并且在某些情况下更容易使用。

# 2. 围绕z轴的旋转

### 2.1 绕z轴旋转的数学原理

绕z轴的旋转可以用旋转矩阵或四元数来表示。旋转矩阵是一个3x3矩阵，它描述了绕z轴旋转θ角度后的坐标变换。四元数是一个4维向量，它也描述了绕z轴旋转θ角度后的坐标变换。

旋转矩阵为：

R_z(θ) = [cos(θ) -sin(θ) 0]
           [sin(θ)  cos(θ) 0]
           [0        0      1]

其中，θ是绕z轴旋转的角度。

四元数为：

q = [cos(θ/2), sin(θ/2) * (0, 0, 1)]

### 2.2 绕z轴旋转的实现方法

#### 2.2.1 使用旋转矩阵

使用旋转矩阵实现绕z轴旋转的代码如下：

import numpy as np

def rotate_z(theta, points):
  """
  绕z轴旋转点云。

  参数：
    theta: 旋转角度（弧度）。
    points: 点云，形状为（N, 3）。

  返回：
    旋转后的点云，形状为（N, 3）。
  """

  # 创建旋转矩阵。
  R_z = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],
                   [np.sin(theta),  np.cos(theta), 0],
                   [0,              0,              1]])

  # 旋转点云。
  rotated_points = np.dot(points, R_z)

  return rotated_points

#### 2.2.2 使用四元数

使用四元数实现绕z轴旋转的代码如下：

import numpy as np

def rotate_z_quat(theta, points):
  """
  绕z轴旋转点云（四元数表示）。

  参数：
    theta: 旋转角度（弧度）。
    points: 点云，形状为（N, 3）。

  返回：
    旋转后的点云，形状为（N, 3）。
  """

  # 创建四元数。
  q = np.array([np.cos(theta/2), np.sin(theta/2) * (0, 0, 1)])

  # 旋转点云。
  rotated_points = q.dot(points)

  return rotated_points

# 3. 旋转的应用

旋转在3D建模中有着广泛的应用，尤其是在物体动态模拟、动画和游戏中。

### 3.1 物体动态模拟

在物体动态模拟中，旋转是描述物体运动状态的重要参数。刚体运动方程可以用来描述物体的旋转运动，其中旋转惯量是一个关键参数。

#### 3.1.1 刚体运动方程

刚体运动方程描述了刚体在力和力矩作用下的运动。其中，旋转运动方程为：

Iα = τ

其中：

* I 是物体的旋转惯量
* α 是物体的角加速度
* τ 是作用在物体上的力矩

#### 3.1.2 旋转惯量的计算

旋转惯量是一个描述物体抵抗旋转的量。对于一个质量为 m，相对于旋转轴距离为 r 的点质量，其旋转惯量为：

I = mr^2

对于复杂形状的物体，旋转惯量可以通过积分计