广义线性模型与线性回归的关系

# 1. 引言

## 1.1 背景介绍

在现代社会中，数据的收集和分析已经成为一项重要的任务。针对数据中的趋势和关联进行建模和预测是数据科学和机器学习领域的核心问题之一。线性回归是一种常用的建模方法，它通过拟合一条直线来描述自变量与因变量之间的线性关系。然而，线性回归也有它的局限性，例如，它只能处理特征与目标之间的线性关系，对于非线性关系的建模效果较差。

## 1.2 目的和意义

广义线性模型提供了一种扩展线性回归的方法，可以处理更复杂的关系模型。它通过将线性回归的假设条件放宽，使得模型可以处理其他类型的关系，例如指数型关系、逻辑回归关系等。广义线性模型的应用领域非常广泛，包括金融、医学、社会科学等各个领域。

## 2. 线性回归基础知识

线性回归是一种用于建立变量之间线性关系的统计模型。它试图通过找到最佳拟合直线，来描述自变量（或特征）与目标变量之间的关系。在本章中，我们将介绍线性回归的基础知识，包括其定义、假设以及求解方法。

### 2.1 什么是线性回归

线性回归是一种用于建立连续变量之间线性关系的回归分析方法。它基于以下假设：自变量与目标变量之间存在一个线性关系，并且模型中的误差项服从正态分布。

线性回归模型的表达形式为：

$$
y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \ldots + \beta_nx_n + \epsilon
$$

其中，$y$是目标变量，$x_1, x_2, \ldots, x_n$是自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n$是回归系数，$\epsilon$是误差项。

### 2.2 线性回归的假设

线性回归模型建立在以下假设的基础上：

1. 线性关系假设：目标变量与自变量之间存在一个线性关系，即模型中的每个自变量对目标变量的影响是线性的。

2. 独立性假设：自变量之间相互独立，不存在多重共线性问题。

3. 正态分布假设：模型的误差项服从正态分布。

4. 等方差性假设：模型的误差项在各个自变量取值区间内具有相同的方差。

### 2.3 普通最小二乘法求解

普通最小二乘法是一种常用的线性回归求解方法，其目标是最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和。

具体而言，普通最小二乘法通过最小化目标函数 $J(\beta)$ 来求解回归系数 $\beta$：

$$
J(\beta) = \sum_{i=1}^{m}(y_i - \hat{y_i})^2
$$

其中，$m$是样本量，$y_i$是实际观测值，$\hat{y_i}$是模型预测值。

普通最小二乘法的求解过程涉及求解目标函数的导数，并将导数等于零的方程求解得到回归系数的估计值。这些估计值使得目标函数取得最小值，从而得到最佳拟合的直线。

import numpy as np

# 构造样本数据
X = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]])
y = np.array([2, 3, 4, 5])

# 添加截距列
X = np.column_stack((np.ones(len(X)), X))

# 计算回归