岭回归与Lasso回归的比较与应用

# 1. 引言

## 1.1 研究背景

在机器学习和统计建模中，拟合线性模型是一种常见的方法。然而，当特征之间存在多重共线性（multicollinearity）时，传统的线性回归模型可能会出现过拟合（overfitting）的问题，导致模型在新数据上的泛化能力较差。因此，岭回归和Lasso回归作为线性模型的改进版本被提出，以解决传统线性回归的一些问题。

## 1.2 研究目的

本文旨在对岭回归和Lasso回归进行深入探讨，包括原理、数学基础、区别以及应用实例分析，从而帮助读者更好地理解和应用这两种回归方法。
## 岭回归的原理

### 3. Lasso回归的原理

#### 3.1 稀疏性与L1正则化

在机器学习中，稀疏性是指模型的参数中有很多为零的特性。Lasso回归利用L1正则化可以实现对参数的稀疏性约束，通过最小化目标函数加上L1范数惩罚项，可以让一部分特征的系数变为0，从而实现特征选择的功能。

#### 3.2 Lasso回归的概述

Lasso回归（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator Regression）是一种通过对模型参数加上L1正则化项来进行特征选择和降维的线性回归方法。其优化目标函数如下：

<div align="center"> $\min_{w} \frac{1}{2n_{samples}} ||Xw - y||_2^2 + \alpha ||w||_1$ </div>

其中，$X$是特征矩阵，$y$是目标变量，$w$是模型参数，$n_{samples}$是样本数量，$\alpha$是正则化系数。

#### 3.3 Lasso回归的数学原理

Lasso回归的数学原理主要是通过加入L1范数正则化项来改变优化目标函数，使得在最优化过程中可以实现特征选择。其最优化问题可以通过使用坐标下降、最小角回归等方法求解。在实际应用中，Lasso回归对于具有大量特征的数据集可以帮助提取出最重要的特征，并且可以进行特征的稀疏性控制。

### 4. 岭回归与Lasso回归的比较

#### 4.1 原理上的区别
岭回归和Lasso回归在原理上有一些区别。

首先，岭回归使用L2正则化，即在损失函数中加入L2范数作为正则化项，目标是最小化损失函数和正则化项的和。而Lasso回归使用L1正则化，即在损失函数中加入L1范数作为正则化项，目标是最小化损失函数和正则化项的和。

其次，岭回归的正则化项对特征权重进行平滑约束，使得所有特征尽可能