线性回归中的特征缩放与归一化

# 一、引言
## 1.1 介绍线性回归和其在机器学习中的应用
## 1.2 提出特征缩放和归一化的问题以及其在线性回归中的重要性
## 二、线性回归的基本原理

### 2.1 线性回归的数学模型和假设

线性回归是一种广泛应用于机器学习的监督学习算法，用于预测一个连续值的输出。它基于以下假设：

- 假设输入特征与输出之间存在线性关系。
- 假设噪声项服从均值为0的正态分布。

线性回归的数学模型可以表示为：

$$
\text{y} = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \ldots + \theta_nx_n + \epsilon
$$

其中，$y$是预测的输出值，$x_1, x_2, \ldots, x_n$是输入特征，$\theta_0, \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n$是线性回归模型的参数，$\epsilon$是误差项。

### 2.2 最小二乘法的推导和求解

线性回归的目标是找到一组最优的参数$\theta_0, \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n$，使得预测结果与实际结果的误差最小。最小二乘法是一种常用的求解方法。

最小二乘法的思想是通过最小化预测值与实际值之间的残差平方和来确定参数的值。具体推导过程如下：

1. 将模型的预测值表示为矩阵形式：$\mathbf{y} = \mathbf{X}\mathbf{\theta}$，其中$\mathbf{y}$是实际输出值组成的向量，$\mathbf{X}$是输入特征组成的矩阵，$\mathbf{\theta}$是参数组成的向量。
2. 定义残差向量$\mathbf{e} = \mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{\theta}$，表示预测值与实际值之间的偏差。
3. 最小二乘法的目标是使残差平方和最小化，即$\min_{\mathbf{\theta}}\|\mathbf{e}\|_2^2$。
4. 对目标函数求导，并令导数等于零，得到参数的最优解$\mathbf{\theta} = (\mathbf{X}^{\text{T}}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{\text{T}}\mathbf{y}$。

最小二乘法通过求解线性方程组来得到最优的参数估计值，进而完成线性回归模型的求解。在实际应用中，我