ElasticNet回归与正则化方法大比拼：Lasso、Ridge和L1-L2混合，谁主沉浮

# 1. ElasticNet回归简介

ElasticNet回归是一种正则化回归模型，它结合了L1正则化（Lasso）和L2正则化（Ridge）的优点。正则化是一种技术，用于防止模型过拟合，从而提高其泛化能力。ElasticNet回归通过在损失函数中添加一个惩罚项来实现正则化，该惩罚项与模型系数的L1范数和L2范数成正比。

ElasticNet回归的优点包括：

- 能够选择出更具稀疏性的模型，即具有更多为零的系数。
- 能够处理具有高度相关特征的数据集。
- 能够自动执行特征选择，从而简化模型构建过程。

# 2. 正则化方法的理论基础

### 2.1 L1正则化（Lasso）

#### 2.1.1 L1正则化的原理和作用

L1正则化，又称Lasso正则化，是一种通过在损失函数中添加L1范数项来实现模型正则化的技术。L1范数是向量中各元素绝对值之和，其数学表达式为：

||x||_1 = ∑|x_i|

其中，x为向量。

在L1正则化中，损失函数变为：

L(w) = 1/2||y - Xw||^2 + λ||w||_1

其中，w为模型权重向量，y为真实标签，X为特征矩阵，λ为正则化系数。

L1正则化的作用是通过惩罚权重向量的L1范数来抑制权重向量的过拟合。当λ较大时，权重向量中非零元素的数量会减少，从而导致模型的稀疏性。

#### 2.1.2 L1正则化的优点和缺点

L1正则化的优点包括：

- **特征选择：** L1正则化可以自动选择重要的特征，因为它会将不重要的特征的权重惩罚为0。
- **鲁棒性：** L1正则化对异常值不敏感，因为它使用绝对值而不是平方值。

L1正则化的缺点包括：

- **计算复杂度：** L1正则化优化问题是非光滑的，求解起来比L2正则化更困难。
- **可解释性：** L1正则化会导致稀疏的权重向量，这使得模型的可解释性降低。

### 2.2 L2正则化（Ridge）

#### 2.2.1 L2正则化的原理和作用

L2正则化，又称Ridge正则化，是一种通过在损失函数中添加L2范数项来实现模型正则化的技术。L2范数是向量中各元素平方和的平方根，其数学表达式为：

||x||_2 = sqrt(∑x_i^2)

其中，x为向量。

在L2正则化中，损失函数变为：

L(w) = 1/2||y - Xw||^2 + λ||w||_2^2

其中，w为模型权重向量，y为真实标签，X为特征矩阵，λ为正则化系数。

L2正则化的作用是通过惩罚权重向量的L2范数来抑制权重向量的过拟合。与L1正则化不同，L2正则化不会导致权重向量稀疏。

#### 2.2.2 L2正则化的优点和缺点

L2正则化的优点包括：

- **优化简单：** L2正则化优化问题是光滑的，求解起来比L1正则化更容易。
- **稳定性：** L2正则化可以提高模型的稳定性，因为它会抑制权重向量的过拟合。

L2正则化的缺点包括：

- **特征选择：** L2正则化不会自动选择特征，因为它不会将权重惩罚为0。
- **对异常值敏感：** L2正则化对异常值敏感，因为它使用平方值。

### 2.3 ElasticNet正则化

#### 2.3.1 ElasticNet正则化的原理和作用

ElasticNet正则化是L1正则化和L2正则化的组合，它在损失函数中同时添加L1范数项和L2范数项。其数学表达式为：

L(w) = 1/2||y - Xw||^2 + λ_1||w||_1 + λ_2||w||_2^2

其中，w为模型权重向量，y为真实标签，X为特征矩阵，λ_1和λ_2为正则化系数。

ElasticNet正则化的作用是通过同时惩罚权重向量的L1范数和L2范数来抑制权重向量的过拟合。与L1正则化和L2正则化不同，ElasticNet正则化可以同时具有特征选择和稳定性的优点。

#### 2.3.2 ElasticNet正则化的优点和缺点

ElasticNet正则化的优点包括：

- **特征选择：*