MATLAB控制系统根轨迹设计：原理精通与实例应用全攻略

# 1. 根轨迹设计的基本概念和重要性

根轨迹设计是控制理论中一种直观有效的分析和设计系统稳定性及性能的方法。根轨迹描述了在参数变化时，闭环极点如何随参数改变而变化的轨迹。它在控制系统分析与设计中占据着核心位置，有助于工程师在没有复杂的数学运算下，直观地了解系统动态特性和稳定性。

## 1.1 根轨迹的基本原理

根轨迹是基于开环传递函数绘制的，其核心是利用开环零点和极点来预测闭环极点的位置。这一理论基础最早由尼古劳斯·库尔比克（N. A. Nichols）和亨利·尼奎斯特（H. Nyquist）提出，并由卡什（W. R. Evans）在1948年完整地表述出来。

## 1.2 根轨迹的重要作用

在控制系统设计中，根轨迹的重要作用体现在以下几点：
- **直观分析稳定性**：通过根轨迹可以直观地分析闭环系统的稳定性，判断系统响应是否满足设计要求。
- **参数调整指导**：根轨迹能够指导参数调整，帮助工程师快速找到最佳系统配置。
- **系统性能优化**：基于根轨迹的设计可以针对系统的快速响应、抗干扰能力和稳态误差等方面进行优化，以达到更佳的控制效果。

本章将详细探讨根轨迹设计的基本概念和它在控制系统中所扮演的关键角色，为后续章节中使用MATLAB进行根轨迹分析和系统设计奠定基础。

# 2. MATLAB控制系统设计基础

## 2.1 MATLAB基础知识回顾

### 2.1.1 MATLAB简介及其在控制系统中的作用

MATLAB（Matrix Laboratory的缩写）是由MathWorks公司开发的一款高性能数值计算和可视化软件。它采用一种矩阵编程语言，为用户提供了一个交互式环境，以方便地进行算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算。MATLAB在控制系统领域中扮演着极其重要的角色，尤其在控制系统的设计、分析、仿真和实现过程中，MATLAB提供了丰富而强大的工具箱，特别是控制系统工具箱（Control System Toolbox），使得控制工程师能够轻松地进行系统建模、稳定性分析、控制器设计和仿真测试。

MATLAB中的控制系统工具箱提供了一系列用于控制系统设计和分析的函数和命令，它包括了对线性系统进行分析的函数，以及对根轨迹、频域响应、状态空间模型和PID控制器设计等进行操作和可视化的命令。通过这些工具，工程师可以更加直观和高效地进行系统分析与设计，缩短产品从设计到市场的时间。

### 2.1.2 MATLAB软件界面和基本操作

MATLAB的用户界面非常直观，主要包括以下几个部分：

- **命令窗口（Command Window）**：用户可以通过此窗口输入命令和函数，MATLAB会在这里显示运算结果。
- **编辑器/调试器（Editor/Debugger）**：用于编写、编辑和调试M文件，即包含MATLAB代码的文本文件。
- **工作空间（Workspace）**：在此区域可以查看和管理在MATLAB中创建的变量。
- **路径（Path）**：用于定义MATLAB搜索函数和文件的目录。
- **当前文件夹（Current Folder）**：显示当前文件夹的内容，并提供文件的访问和管理。

基本操作方面，MATLAB支持多种基本数学运算，包括加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）、指数（^）等，同时支持矩阵和数组运算。用户还可以使用内置函数如 `help` 来获取帮助信息，`clear` 清除工作空间变量，以及 `save` 和 `load` 来保存和加载工作空间中的数据。

为了更有效地使用MATLAB，用户需要熟悉其命令行界面的交互方式，掌握如何使用各种内置函数和工具箱。对于控制系统设计，用户尤其需要熟悉控制工具箱中提供的函数，如 `tf`（传递函数模型）、`step`（步进响应）、`bode`（频率响应）等。

## 2.2 控制系统的基本理论

### 2.2.1 控制系统的组成和分类

控制系统的组成主要包括以下几个部分：

- **控制器（Controller）**：控制系统中的决策机构，负责根据系统的当前状态和期望的性能指标来调整系统的输出。
- **被控对象（Plant）**：也称为过程或系统，是需要控制的物理对象或过程，控制器根据该部分的响应来调整控制策略。
- **反馈环节（Feedback）**：将系统的输出传回到控制器进行比较和分析，以便控制器对系统进行校正。
- **参考输入（Reference Input）**：系统期望达到的输出目标，又称为设定点或指令输入。
- **扰动输入（Disturbance Input）**：影响系统性能的外部或内部干扰。

根据不同的标准，控制系统可以分为几种类型：

- **按照系统的结构**可以分为开环控制系统和闭环控制系统。
- **按照控制信号的性质**可以分为连续时间控制系统和离散时间控制系统。
- **按照系统的性能**可以分为线性和非线性系统，稳定和不稳定系统，时不变和时变系统等。

### 2.2.2 控制系统的性能指标

控制系统的性能指标是评价系统性能好坏的重要标准，主要包括：

- **稳定性（Stability）**：系统在受到扰动后能够恢复到原来状态的能力。
- **准确性（Accuracy）**：系统输出与参考输入之间的偏差大小。
- **快速性（Rapidity）**：系统达到或接近其最终稳态值的速度。
- **鲁棒性（Robustness）**：系统对于参数变化和外部干扰的抵抗能力。
- **抗干扰性（Disturbance Rejection）**：系统减小或消除外部扰动影响的能力。

在控制系统设计时，需要根据具体应用的需求综合考虑这些性能指标，并通过不同的设计方法来达到最优的控制效果。

## 2.3 MATLAB中的控制系统工具箱

### 2.3.1 控制工具箱的函数和命令

MATLAB控制系统工具箱提供了大量的函数和命令，这些函数覆盖了从系统建模、分析到设计等各个阶段。以下是一些常见的命令及其用途：

- `tf`：创建传递函数模型。
- `ss`：创建状态空间模型。
- `bode`：绘制系统的频率响应。
- `nyquist`：绘制系统的尼奎斯特图。
- `step`：绘制系统的阶跃响应。
- `impulse`：绘制系统的脉冲响应。
- `rlocus`：绘制系统的根轨迹。
- `pid`：创建或转换为PID控制器。

这些函数在控制系统的设计和分析中极为重要，它们使得工程师可以在MATLAB环境中完成系统设计的全过程。

### 2.3.2 利用MATLAB建立系统模型

在MATLAB中建立系统模型是进行控制系统分析和设计的第一步。例如，我们可以使用 `tf` 函数创建一个传递函数模型。假设一个简单的一阶系统，其传递函数可以表示为：

H(s) = 1 / (s + 2)

在MATLAB中，我们可以使用以下命令来创建这个系统模型：

num = 1;  % 分子多项式系数
den = [1 2];  % 分母多项式系数
H = tf(num, den);  % 创建传递函数模型

这段代码定义了一个传递函数，并赋值给变量 `H`。之后，我们便可以使用MATLAB提供的其他函数，如 `step(H)` 来绘制该系统的阶跃响应，或者使用 `bode(H)` 来绘制系统的频率响应。

利用MATLAB的控制系统工具箱，不仅能够方便地建立和分析系统模型，还可以进一步进行控制器设计和系统优化。例如，对于同一个系统，如果我们希望设计一个PID控制器来改善系统的性能指标，我们可以使用 `pid` 函数创建PID控制器，并通过 `feedback` 函数进行闭环系统的分析。