余切函数的特殊值与恒等式：掌握函数的特殊性质，解决数学难题

# 1. 余切函数的基本概念和性质

余切函数是三角函数中的一种，定义为对边与邻边的比值。它在三角学和数学的许多其他领域中都有着广泛的应用。

**基本概念：**

- 余切函数的定义：tan θ = 对边 / 邻边
- 余切函数的取值范围：(-∞, ∞)
- 余切函数的零点：θ = nπ (n 为整数)
- 余切函数的奇偶性：奇函数

# 2. 余切函数的特殊值

### 2.1 余切函数在特殊角的值

#### 2.1.1 余切函数在 0、π/2、π、3π/2 的值

在这些特殊角处，余切函数具有确定的值：

| 角 | 余切值 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| π/2 | 无穷大 |
| π | 0 |
| 3π/2 | 无穷大 |

**代码示例：**

import math

# 计算余切函数在特殊角的值
print("tan(0) =", math.tan(0))
print("tan(math.pi / 2) =", math.tan(math.pi / 2))
print("tan(math.pi) =", math.tan(math.pi))
print("tan(3 * math.pi / 2) =", math.tan(3 * math.pi / 2))

**逻辑分析：**

* `math.tan()` 函数计算给定角度的余切值。
* 对于特殊角 0、π/2、π 和 3π/2，余切值分别为 0、无穷大、0 和无穷大。

#### 2.1.2 余切函数在 π/4、π/3、π/6、5π/6 的值

在这些特殊角处，余切函数的值也可以通过三角函数的半角公式或倍角公式求得：

| 角 | 余切值 | 推导 |
|---|---|---|
| π/4 | 1 | tan(π/4) = tan(π/2 - π/4) = cot(π/4) = 1 |
| π/3 | √3 | tan(π/3) = tan(π/6 * 3) = 3tan(π/6) = √3 |
| π/6 | 1/√3 | tan(π/6) = tan(π/3 / 3) = 1/tan(π/3) = 1/√3 |
| 5π/6 | -1/√3 | tan(5π/6) = tan(π - π/6) = -tan(π/6) = -1/√3 |

### 2.2 余切函数的周期性

#### 2.2.1 余切函数的周期

余切函数是一个周期函数，其周期为 π。这意味着对于任意实数 x，都有：

tan(x + π) = tan(x)

**代码示例：**

import math

# 验证余切函数的周期性
for x in range(0, 10):
    print("tan(x) =", math.tan(x))
    print("tan(x + math.pi) =", math.tan(x + math.pi))
    print()

**逻辑分析：**

* `math.tan()` 函数计算给定角度的余切值。
* 对于不同的 x 值，余切函数的值在 π 周期内重复出现。

#### 2.2.2 余切函数的奇偶性

余切函数是一个奇函数，这意味着对于任意实数 x，都有：

tan(-x) = -tan(x)

**代码示例：**

import math

# 验证余切函数的奇偶性
for x in range(-5, 5):
    print("tan(x) =", math.tan(x))
    print("tan(-x) =", math.tan(-x))
    print()

**逻辑分析：**

* `math.tan()` 函数计算给定角度的余切值。
* 对于不同的 x 值，余切函数的值在 x = 0 处对称分布。

# 3.1 基本恒等式

#### 3.1.1 tan(π/2 - θ) = cot θ

**证明：**