余切函数的三角恒等式：巧用恒等式，解决数学难题

# 1. 余切函数的定义和性质

余切函数，记作 tan，是三角学中重要的函数之一。它定义为正弦与余弦之比：

tan θ = sin θ / cos θ

其中，θ 是角的度数或弧度。

余切函数具有以下性质：

- **奇函数：** tan(-θ) = -tan θ
- **周期函数：** tan(θ + π) = tan θ
- **单调性：** 在 (0, π/2) 上单调递增，在 (π/2, π) 上单调递减
- **值域：** (-∞, ∞)
- **零点：** θ = nπ (n 为整数)
- **极点：** θ = (2n + 1)π/2 (n 为整数)

# 2. 余切函数的三角恒等式

### 2.1 基本恒等式

#### 2.1.1 余切与正切的恒等式

**恒等式：** tan θ = sin θ / cos θ

**逻辑分析：**

此恒等式直接由正切函数的定义得出，即 tan θ = sin θ / cos θ。它表明余切函数是正弦函数与余弦函数的比值。

#### 2.1.2 余切与余弦的恒等式

**恒等式：** cot θ = 1 / tan θ = cos θ / sin θ

**逻辑分析：**

余切函数的余切函数是正切函数的倒数，即 cot θ = 1 / tan θ。因此，余切函数也可以表示为余弦函数与正弦函数的比值，即 cot θ = cos θ / sin θ。

### 2.2 进阶恒等式

#### 2.2.1 余切和角加减法的恒等式

**恒等式：**

- tan (θ + φ) = (tan θ + tan φ) / (1 - tan θ tan φ)
- tan (θ - φ) = (tan θ - tan φ) / (1 + tan θ tan φ)

**逻辑分析：**

这些恒等式用于计算两个角的和或差的余切值。它们可以通过正切函数的和差公式推导得到。

#### 2.2.2 余切和倍角公式的恒等式

**恒等式：**

- tan 2θ = (2 tan θ) / (1 - tan² θ)
- tan (θ / 2) = ±√((1 - cos θ) / (1 + cos θ))

**逻辑分析：**

这些恒等式用于计算一个角的倍数或一半的余切值。它们可以通过正切函数的倍角公式和半角公式推导得到。

# 3.1 三角形的求解

#### 3.1.