余切函数的解析延拓：从实数域到复数域的无限拓展

# 1. 余切函数的定义与性质

余切函数，记作 tan(z)，是三角函数之一，定义为正切函数与余弦函数的比值：

tan(z) = sin(z) / cos(z)

其中，z 是复数。

余切函数具有以下性质：

* **周期性：** tan(z + π) = tan(z)
* **奇函数：** tan(-z) = -tan(z)
* **零点：** z = nπ (n 为整数)
* **极点：** z = (2n + 1)π/2 (n 为整数)

# 2. 余切函数的解析延拓

### 2.1 复数域的定义与运算

**复数域的定义：**

复数域是由实数域扩展而来的，它包含了所有形式为 $a+bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$。

**复数域的运算：**

复数域上的运算与实数域类似，包括加法、减法、乘法和除法。复数的加减法与实数相同，乘法和除法则需要考虑虚数单位 $i$ 的性质。

加法：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
减法：$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
乘法：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
除法：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

### 2.2 余切函数在复数域的解析性

**余切函数的定义：**

余切函数是正切函数的倒数，定义为：

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

其中 $x$ 是实数。

**余切函数在复数域的解析性：**

余切函数在复数域上不是解析的，因为它在 $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ 处存在奇点。在这些奇点处，余切函数的值趋于无穷大，因此函数不满足解析性的条件。

**解析延拓：**

解析延拓是指将一个函数从其定义域扩展到一个更大的域，使得函数在扩展后的域上仍然是解析的。对于余切函数，可以通过解析延拓将其定义到复平面上除了 $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ 之外的所有点。

# 3.1 韦尔斯特拉斯分解

#### 3.1.1 韦尔斯特拉斯分解的原理

韦尔斯特拉斯分解是一种将一个具有奇点的复函数分解为一个解析函数和一个具有简单极点的函数的技巧。其原理如下：

设 $f(z)$