GCD算法的优化：更快速的计算方法

# 第一章：欧几里得算法简介

## 1.1 算法原理

The Euclidean algorithm is a method for finding the greatest common divisor (GCD) of two numbers. It is based on the principle that the GCD of two numbers also divides their difference. The algorithm can be expressed using the following recursive formula:

gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

Where `a` and `b` are the two numbers, and `%` denotes the modulo operation.

The algorithm continues recursively applying this formula until `b` becomes 0. At this point, `a` becomes the GCD of the original `a` and `b`.

## 1.2 时间复杂度分析

The time complexity of the Euclidean algorithm can be analyzed using the Big O notation. In the worst case, the algorithm's time complexity is O(log min(a, b)).

## 1.3 算法实现

def euclidean_gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

**代码说明：**
- 使用while循环和模运算实现了欧几里得算法
- 当b不为0时，交换a和b的值，并将a对b取模赋给b
- 当b等于0时，返回a作为最大公约数的值

**示例：**

print(euclidean_gcd(48, 18))  # Output: 6
print(euclidean_gcd(35, 14))  # Output: 7

**结果说明：**
- 对于48和18，最大公约数为6
- 对于35和14，最大公约数为7

## 第二章：扩展欧几里得算法

### 2.1 算法原理与应用

扩展欧几里得算法是欧几里得算法的一个扩展，它可以在求解两个数的最大公约数的同时，求解这两个数的线性组合使得结果等于最大公约数。这一特性在很多数论和密码学的问题中都有应用，比如求解逆元、同余方程等。

算法原理比较简单，基于欧几里得算法的递归过程，同时维护两个变量：`x` 和 `y`，使得 `ax