算法模板：数论与竞赛计算

"该资源是一份关于数论算法的模板集合，适用于ACM/ICPC竞赛，包含了多种数论相关的算法实现，如求素数、欧拉函数、解同余方程、因数分解等。" 这篇内容涵盖了一系列在数论算法中常见的问题及其解决方案，以下是一些关键知识点的详细解释： 1. **求素数**：通过筛法或者Rabin-Miller质数检验（如描述中提到的rabinmiller方法）来找到一个范围内所有素数，并返回素数个数。 2. **欧拉函数**：欧拉函数φ(x)表示小于等于x且与x互质的正整数个数，它在数论中有着重要应用，如模运算中的欧拉定理。 3. **模运算**：如a*b%c、a^b%c，这些是快速计算模幂和模乘的算法，通常使用快速幂或模逆等技术优化。 4. **线性同余方程解法**：求解a*x=b (mod n)的问题，可以通过扩展欧几里得算法来解决。 5. **中国剩余定理**：用于解决多个同余方程组的问题，例如给定一系列同余方程a=bi (mod ni)，找到满足条件的x。 6. **进制转换**：将数字从一种进制转换到另一种进制，例如从十进制转为二进制。 7. **牛顿迭代法**：用于求解平方根和其他数值问题，通过不断迭代逼近目标值。 8. **原根**：在模m意义下，如果g的幂次可以遍历所有与m互质的数，则g是模m的原根。 9. **最大公约数与最小公倍数**：求解gcd(a, b)以及根据最大公约数计算最小公倍数，通常使用欧几里得算法。 10. **二进制表达式操作**：包括统计数字二进制表示中1的个数，以及获取二进制表示的某一位。 11. **数的因数分解与约数和**：找出一个数的所有因数并计算它们的和，这在处理数的性质和组合问题时很有用。 12. **随机数生成**：在编程竞赛中，有时需要自定义随机数生成器，以模拟特定的随机过程。 13. **Pollard Rho分解**：一种用于大整数因数分解的算法，可以在某些情况下比其他算法更快。 14. **Pell方程**：形如x^2 - Dy^2 = 1的双变量二次方程，求其解的方法涉及到椭圆曲线和数论的高级部分。 15. **离散对数**：在模运算背景下，找到指数x，使得A^x=B (mod C)，这个问题在密码学中非常重要。 16. **反素数**：一个数字的所有非自身因数的乘积，找到最大的且不超过n的反素数。 17. **整数HASH**：用于统计数字出现的次数，有时需要快速计算哈希值。 以上只列举了部分关键知识点，实际模板中可能还包括更多如矩阵快速幂、三分法、哥德巴赫猜想等数论算法和技巧。这份模板集是为ACM/ICPC等算法竞赛准备的，对参赛者理解和实现这些算法有很大帮助。