邻接矩阵的加权表示及算法分析

# 1. 引言

### 1.1 研究背景
在图论中，邻接矩阵是一种常见的图数据表示方法，它可以通过矩阵的方式清晰地展示出图中各个顶点之间的关系。在实际应用中，我们经常会遇到带权图，即图中的边具有权重。因此，加权图的邻接矩阵表示和相应的算法分析变得尤为重要。

### 1.2 目的与意义
本文旨在介绍邻接矩阵的加权表示方法及相关算法分析，重点探讨加权图的邻接矩阵数据结构设计、Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法在加权图中的应用。通过本文的学习，读者将深入了解加权图在计算机科学领域的重要性和应用场景，提升图算法和数据结构的应用能力。

### 1.3 文章结构
本文将分为以下章节展开讨论：
- 第二章：图的邻接矩阵表示
- 第三章：邻接矩阵的加权表示
- 第四章：Dijkstra算法分析
- 第五章：Floyd-Warshall算法分析
- 第六章：案例分析与总结

接下来，我们将深入探讨图的邻接矩阵表示方法及加权图的应用，希望读者能从中获益良多。

# 2. 图的邻接矩阵表示

在本章中，我们将深入探讨图的邻接矩阵表示，包括基本概念回顾、邻接矩阵的定义及性质、加权图的邻接矩阵表示以及优缺点分析。下面让我们逐一展开：

### 2.1 图的基本概念回顾
首先，我们会回顾图的基本概念，包括顶点、边、无向图、有向图等，并对图的表示方法进行简要介绍。

### 2.2 邻接矩阵的定义及性质
接着，我们将详细定义邻接矩阵，并讨论邻接矩阵在图论中的性质，如如何表示顶点之间的连接关系。

### 2.3 加权图的邻接矩阵表示
在这一小节中，我们将介绍加权图的概念，并探讨如何利用邻接矩阵表示带权图，以便进行加权图的算法分析与处理。

### 2.4 优缺点分析
最后，我们会对邻接矩阵表示方法的优缺点进行详细分析，以便读者更好地理解邻接矩阵在图算法中的应用及限制。

通过对图的邻接矩阵表示的深入研究，读者将能够更好地理解该数据结构在算法设计和实现中的重要性和作用。

# 3. 邻接矩阵的加权表示

在加权图中，每条边都被赋予了一个权重值，那么如何在邻接矩阵中表示这种加权图呢？本章将介绍加权图的数据结构设计以及加权邻接矩阵的存储方法，并通过示例分析加深理解。

#### 3.1 加权图的数据结构设计

在加权图中，除了存储节点和边的信息外，还需要额外存储边的权重值。常见的数据结构设计包括：

- **节点结构体**：用于存储节点的编号和相关信息。

  class Node:
      def __init__(self, idx):
          self.idx = idx

- **边结构体**：用于存储边的起始节点、结束节点以及权重值。

  class Edge:
      def __init__(self, start, end, weight):
          self.start = start
          self.end = end
          self.weight = weight

- **加权图类**：包含节点集合和边集合，以及提供添加节点、添加边等操作的方法。

  class WeightedGraph:
      def __init__(self):
          self.nodes = []
          self.edges = []
      def add_node(self, node):
          self.nodes.append(node)
      def add_edge(self, edge):
          self.edges.append(edge)

#### 3.2 加权邻接矩阵的存储方法

加权邻接矩阵是邻接矩阵的一种扩展，除了表示节点之间是否相连外，还存储了边的权重值。在加权邻接矩阵中，若节点i和节点j之间没有边直接相连，则权重值设为无穷大或足够大的值。

class WeightedAdjacencyMatrix:
    de