小波变换MATLAB教程：循序渐进掌握信号处理技术（附赠练习题）

# 1. 小波变换基础**

小波变换是一种时频分析工具，它可以将信号分解为一系列具有不同频率和时间尺度的分量。这种分解使我们能够分析信号的局部特征，并提取与特定频率和时间尺度相关的有用信息。

小波变换基于小波函数，它是一个具有有限能量、快速衰减的振荡函数。通过平移和缩放小波函数，我们可以生成一组小波基，用于分解信号。小波分解的过程涉及将信号投影到小波基上，从而产生一组小波系数，这些系数表示信号在不同频率和时间尺度上的能量分布。

# 2.1 小波函数和尺度变换

### 2.1.1 小波函数的种类和性质

小波函数是具有局部化和振荡特性的一类函数，它可以用来表示信号的局部特征。常用的正交小波函数包括：

- 哈尔小波：是最简单的小波函数，具有方波形状。
- 达乌别希小波：具有紧支撑和对称性，广泛用于信号处理。
- 柯依夫小波：具有良好的方向性，适合于图像处理。

小波函数的性质主要包括：

- 局部化：小波函数在时域和频域上都具有较好的局部化特性，可以有效地捕捉信号的局部特征。
- 振荡性：小波函数通常具有振荡性，可以表示信号的快速变化。
- 正交性：正交小波函数组成的基底是正交的，可以唯一地表示信号。

### 2.1.2 尺度变换和多尺度分析

尺度变换是指将小波函数在时域上进行缩放，从而得到一系列不同尺度的子波函数。多尺度分析是指使用不同尺度的子波函数对信号进行分析，从而获得信号在不同尺度上的特征。

尺度变换公式：

ψ(t) = \sqrt{2^j} ψ(2^j t)

其中：

- ψ(t) 为尺度为 j 的子波函数
- ψ(t) 为母小波函数
- j 为尺度因子

多尺度分析的目的是通过不同尺度的子波函数对信号进行分解，从而获得信号在不同频率和时间范围内的特征。

**代码块：**

% 定义母小波函数
mother_wavelet = 'db4';

% 定义尺度因子
scales = 1:5;

% 进行多尺度分析
wavelet_coefficients = cwt(signal, scales, mother_wavelet);

**逻辑分析：**

该代码块使用连续小波变换对信号进行多尺度分析。它使用 `cwt` 函数，其中 `signal` 为输入信号，`scales` 为尺度因子的范围，`mother_wavelet` 为母小波函数。`wavelet_coefficients` 存储了不同尺度下的子波系数，它可以用来分析信号在不同频率和时间范围内的特征。

# 3. 小波变换在信号处理中的应用

### 3.1 降噪和去噪

小波变换在信号处理中的一大重要应用就是降噪和去噪。它通过将信号分解成不同尺度和频率的子带，可以有效地去除信号中的噪声。

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