MATLAB圆形Airy光束传播特性分析：洞悉光束演变规律

# 1. MATLAB简介及圆形Airy光束理论**

MATLAB是一种强大的数值计算软件，广泛应用于科学、工程和金融等领域。它提供了丰富的函数库，可用于解决各种数学和科学问题。圆形Airy光束是一种具有独特传播特性的特殊光束，在光学领域具有重要的应用。本文将介绍MATLAB中圆形Airy光束传播特性的数值模拟方法，并分析其在光学中的应用。

# 2. 圆形Airy光束的数学模型

### 2.1 Airy函数的定义和性质

#### 2.1.1 Airy函数的微分方程

Airy函数是一组特殊的函数，满足二阶线性微分方程：

y''(x) - xy(x) = 0

其中，y(x) 是Airy函数。

#### 2.1.2 Airy函数的渐近展开式

对于大的x，Airy函数具有渐近展开式：

Ai(x) ~ (1/2πx)^{1/2} * exp(-(2/3)x^{3/2})

Bi(x) ~ (1/2πx)^{1/2} * exp((2/3)x^{3/2})

### 2.2 圆形Airy光束的传播方程

#### 2.2.1 帕拉塞尔近轴近似

帕拉塞尔近轴近似是一种近似方法，用于描述光束在近轴区域的传播。它假设光束的传播方向与光轴的夹角很小，且光束的波前曲率半径远大于光束的半径。

#### 2.2.2 圆形Airy光束的传播特性

在帕拉塞尔近轴近似下，圆形Airy光束的传播方程为：

∂u/∂z + (ik/2k_0) * (∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2) = 0

其中，u(x, y, z) 是光束的包络函数，k 是波数，k_0 是真空中的波数。

**代码块：**

% 定义传播距离
z = 100;

% 定义波数
k = 2 * pi / lambda;

% 定义真空中的波数
k0 = 2 * pi / lambda0;

% 定义光束的包络函数
u = airy(x, y);

% 计算传播后的光束包络函数
u_propagated = exp(-1i * (k / (2 * k0)) * (z * (∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)));

% 绘制传播后的光束强度分布
figure;
imagesc(abs(u_propagated).^2);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('传播后的圆形Airy光束强度分布');

**逻辑分析：**

该代码块模拟了圆形Airy光束在传播距离 z 下的传播特性。它首先定义了传播距离、波数、真空中的波数和光束的包络函数。然后，它计算传播后的光束包络函数，并绘制传播后的光束强度分布。

**参数说明：**

* z：传播距离
* k：波数
* k0：真空中的波数
* u：光束的包络函数
* u_propagated：传播后的光束包络函数

# 3.1 MATLAB中Airy函数的计算

#### 3.1.1 airy函数

MATLAB中提供了`airy`函数用于计算Airy函数。该函数的语法如下：

[Ai, Ai_prime, Bi, Bi_prime] = airy(z)

其中：

- `z`：输入的复数自变量。
- `Ai`：Airy Ai函数的值。
- `Ai_prime`：Airy Ai函数的一阶导数。
- `Bi`：Airy