MATLAB圆形Airy光束数学精要：理解光束本质与演化规律

# 2.1 帕拉塞尔近轴近似

### 2.1.1 帕拉塞尔方程的推导

帕拉塞尔近轴近似是一种近轴光传播的简化模型，它假设光线与光轴夹角较小，从而可以忽略光线曲率。帕拉塞尔方程描述了光线在近轴区域内的传播规律：

∂r/∂z = (ik/2k0)∇⊥r

其中：

- r 是光线位置矢量
- z 是传播方向
- k 是波矢
- k0 是真空中的波矢
- ∇⊥ 是垂直于传播方向的梯度算子

### 2.1.2 近轴近似下的光束传播

在帕拉塞尔近轴近似下，光束的传播可以用高斯光束近似来描述。高斯光束是一种具有高斯横向分布的准单色光束，其传播特性可以用以下方程描述：

E(r, z) = E0 * exp(-r^2/w(z)^2) * exp(-ikz - ikr^2/2R(z))

其中：

- E0 是光束中心处的电场幅度
- w(z) 是光束半径
- R(z) 是光束曲率半径

# 2. 圆形Airy光束的数学建模

### 2.1 帕拉塞尔近轴近似

#### 2.1.1 帕拉塞尔方程的推导

帕拉塞尔近轴近似是一种在光学中常用的近似方法，它适用于光束传播方向与光轴夹角较小的情况。帕拉塞尔方程是描述光束传播的偏微分方程，其推导过程如下：

假设光束沿z轴传播，光轴方程为：

z = z(x, y)

光束在(x, y)处的波前曲面方程为：

ψ(x, y, z) = A(x, y, z)exp[ikS(x, y, z)]

其中，A(x, y, z)是光束幅度，S(x, y, z)是光束相位。

对于近轴光束，可以将光轴方程和波前曲面方程进行泰勒展开，并截取到一阶项，得到：

z ≈ z0 + (x^2 + y^2) / 2R(z0)
ψ(x, y, z) ≈ A(x, y, z0)exp[ik(S(x, y, z0) + (x^2 + y^2) / 2R(z0))]

其中，z0是光束的参考平面，R(z0)是光束在参考平面的曲率半径。

将上述近似代入亥姆霍兹方程，并忽略高阶项，得到帕拉塞尔方程：

(∂^2ψ / ∂x^2) + (∂^2ψ / ∂y^2) + 2ik(∂ψ / ∂z) = 0

#### 2.1.2 近轴近似下的光束传播

在帕拉塞尔近轴近似下，光束的传播可以用高斯光束模型来描述。高斯光束的幅度和相位分别为：

A(x, y, z) = A0exp[-(x^2 + y^2) / w(z)^2]
S(x, y, z) = (z - z0) - (x^2 + y^2) / 2R(z)

其中，A0是光束在参考平面的幅度，w(z)是光束在z处的束腰半径，R(z)是光束在z处的曲率半径。

高斯光束的束腰半径和曲率半径与传播距离z的关系如下：

w(z) = w0 * sqrt(1 + (z - z0)^2 / z0^2)
R(z) = z * (1 + (z0 / z)^2)

其中，w0是光束在参考平面的束腰半径，z0是光束的瑞利长度。

### 2.2 非衍射光束的数学表述

#### 2.2.1 非衍射光束的定义和性质

非衍射光束是指在传播过程中保持其横向幅度分布不变的光束。非衍射光束具有以