ii CONTENTS
3.1 A ∗ is Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2 What is Convolution, Really? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3 Properties of Convolution: It’s a Lot like Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4 For Whom the Bell Curve Tolls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5 Appendix: Evaluation of the Gaussian Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6 Convolution in Action I: A Little Bit on Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7 Convolution in Action II: Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.8 Appendix: Didn’t We Already Solve the Heat Equation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.9 Convolution in Action III: The Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.10 The Central Limit Theorem: The Bell Curve Tolls for Thee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.11 Appendix: The Mean and Standard Deviation for the Sum of Random Variables . . . . . . 130
3.12 More Details on the C entral Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.13 Appendix: Heisenberg’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4 Distributions and Their Fourier Transforms 135
4.1 The Day of Reckoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2 The Right Functions f or Fourier Transforms: Rap idly Decreasing Functions . . . . . . . . . 140
4.3 Appendix: A Very L ittle on Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4 Appendix: The Riemann-Lebesgue lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.5 Appendix: Smooth Windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.6 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.7 Appendix: A Physical Analogy for Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.8 Appendix: Limits of Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.9 Appendix: Other App roximating Sequences for δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.10 The Fourier Transform of a Tempered Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.11 Fluxions Finis: The End of Differential Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.12 Approximations of Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.13 Appendix: The Generalized Fourier Transform Includes the Classical Fourier Transform . . 179
4.14 Appendix: 1/x as a Principal Value Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.15 Operations on Distributions and Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.16 Duality, Changing Signs, Evenness and Oddness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.17 A Function Times a Distribution Makes S en s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.18 The Derivative Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.19 S hifts and the Shift Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.20 S caling and the Stretch Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
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